浅析容斥和DP综合运用

浅析容斥和DP综合运用

前言

众所周知在数数题中有一种很重要的计数方法——容斥。但是容斥有一个很大的缺陷：枚举子集的复杂度过高。所以对于数据规模较大的情况会很乏力，那么我们就只能引入容斥DP。

复习一下容斥

什么情况下用容斥？容斥能干什么？

容斥的基本功能就是当你知道任意个指定集合的交集，你就能推出这些集合的并集。

形式化的来说，就是：
\[
\left|\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}\right|=\sum_{i=1}^{n}\left|A_{i}\right|-\sum_{1 \leq i<j \leq n}\left|A_{i} \cap A_{j}\right|+\sum_{1 \leq i<j<k \leq n}\left|A_{i} \cap A_{j} \cap A_{k}\right|-\cdots+(-1)^{n-1}\left|A_{1} \cap \cdots \cap A_{n}\right|
\]

只使用容斥朴素算法

如果我们只会容斥，我们该怎么做？很显然根据上面的公式，我们需要枚举任意集合的组合方式，然后统计他们的答案，将他们加入答案。

比如说在【线上训练 5】乘方中，当我们枚举出子集，我们就很容易求出子集的大小。

而【线上训练3】数个数，当我们枚举出了子集，我们也能统计出子集的大小

我们通过以上两道题，总结出了这种容斥题的一个特点：都是求集合的并集，同时你可以通过一些方式求得集合的交集。

使用DP进行优化

我们思考一下就会发现，上面两道题的复杂度瓶颈都在于需要\(2^k\)的枚举出所有的子集再进行DP。那我们就可以考虑进行DP。因为对于一个子集，添加一个元素，就会导致他贡献的符号取反。

一般DP状态都是\(dp[i][j]\)，其中\(i\)代表前\(i\)个集合中的元素。而\(j\)一般代表一个决定交集大小的值。而对于\(j\)值相同的所有状态（子集），在它们之后再添加一个元素，对答案增加的贡献都一样。

举个例子：

在【线上训练3】数个数中，如果往一个子集内加入新的元素，子集的大小就会增加\((字符集)^{（加入的区间位置-上一个区间位置）}\)。所以我们记录的\(j\)就是上一个区间的位置。
而在【线上训练 5】乘方中，如果往一个子集内加入新的元素，子集的大小就会变成\(lcm(j,N_i)\)。所以\(j\)记录的就是选择的子集的\(lcm\)。

对于前一道题而言，因为决定所选子集的大小是子集中元素的间隔距离。所以我们需要一边\(dp\)选择元素，一边把每一次往子集里添加元素增加的贡献累加进入最终答案。

而对于后一道题而言，因为决定所选子集的大小是子集中元素的\(lcm\)，因为这是一个数，而且这个数和前面说的转移答案所需要的\(j\)是同一个数，所以我们可以只在\(dp\)数组里记录容斥系数的和，等到最后再来统计答案。