欧拉回路 & 欧拉路径

欧拉路径 & 欧拉回路

概念

欧拉路径: 如果图 G 种的一条路径包括所有的边,且仅通过一次的路径.

欧拉回路: 能回到起点的欧拉路径.

混合图: 既有无向边又有无向边的图.

判定

• 无向图
  
  一个无向图存在欧拉路径,当且仅当 该图所有点度数为偶数 或者 仅有两个点度数为奇数,其余全为偶数.
• 有向图
  
  所有的点出度等于入度,或者对于欧拉路径还可以是有一个点出度比入度多\(1\),另有一个点入度比出度多\(1\).

寻找欧拉路径/回路的方法 Hierholzer 算法

Hierholzer算法自动寻找欧拉回路，在找不到欧拉回路的情况下会找到欧拉路径。前提是得给它指定好起点。

算法流程（无向图）：

1.判断奇点数。奇点数若为0则任意指定起点，奇点数若为2则指定起点为奇点。

2.开始递归函数Hierholzer(x):

　　循环寻找与x相连的边(x,u):

　　　　删除(x,u)

　　　　删除(u,x)

　　　　Hierholzer(u);

　　将x插入答案队列之中

3.倒序输出答案队列

板子题

[USACO Section 3.3] 骑马修栅栏 Riding the Fences




Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int g[1501][1501];
int du[1501],sta[1501];
int n,e,top,i,j,x,y,st=1,m,mi,p;
void dfs(int i)
{
    for(int j=1;j<=m;++j)
        if(g[i][j])
        {
            g[i][j]--;
            g[j][i]--;
            dfs(j);
        }
    sta[++top]=i;
}

int main()
{
    scanf("%d",&e);
    for(i=1;i<=e;++i)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        ++g[y][x]; ++g[x][y];
        du[x]++; du[y]++;
       	m=max(max(x,y),m);
	}
    for(i=1;i<=m;++i)
        if(du[i]%2)
        {st=i;break;}
    dfs(st);
    for(i=top;i>=1;--i)
        printf("%d\n",sta[i]);
    return 0;
}