bzoj 2005: [Noi2010]能量采集筛法||欧拉||莫比乌斯

2005: [Noi2010]能量采集

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Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，

栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列

有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，

表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了

一个角上，坐标正好是(0, 0)。能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器

连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于

连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植

物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20

棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。在这个例子中，总共产生了36的能

量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】
5 4
【样例输入2】
3 4

Sample Output

【样例输出1】
36
【样例输出2】
20
对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

　　　　 n　　m

题意：求2*∑ ∑ gcd(i,j)-1;

　　　　 i=1 j=1

思路：首先一个很涨知识的筛法；

　　　g[k]表示gcd(i,j)==k的个数；

　　　g[k]=n/k*m/k-g[2*k]-g[3*k]-.......;

　　　逆序写即可,复杂度O（n*log（n））；

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define ll long long

#define pi (4*atan(1.0))

const int N=1e5+,M=4e6+,inf=1e9+;

ll g[N];

int main()

{

    int x,y,z,i,t;

    while(~scanf("%d%d",&x,&y))

    {

        ll ans=;

        for(i=min(x,y);i>=;i--)

        {

            g[i]=(ll)x/i*(y/i);

            for(t=i+i;t<N;t+=i)

            g[i]-=g[t];

            ans+=g[i]*(*i-);

        }

        printf("%lld\n",ans);

    }

    return ;

}

欧拉函数：

　　　　　　n m　　　　　n m min(n,m)

证明过程： ∑ ∑ gcd(i,j)=∑ ∑ ∑ Ø(d) = ∑ Ø(d) * (n/d) *(m/d)

　　　　　　i=1 j=1 i=1 j=1 d|gcd(i,j) d=1

　　　　　　分块写，复杂度预处理O（1e5)+sqrt(min(n,m));

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define ll long long

#define pi (4*atan(1.0))

const int N=1e5+,M=1e6+,inf=1e9+;

const ll INF=1e18+;

ll p[N],ji;

bool vis[N];

ll phi[N];

ll sum[N];

void get_eular(int n)

{

    ji = ;

    phi[]=;

    memset(vis, true, sizeof(vis));

    for(int i = ; i <= n; i++)

    {

        if(vis[i])

        {

            p[ji ++] = i;

            phi[i] = i - ;

        }

        for(int j = ; j < ji && i * p[j] <= n; j++)

        {

            vis[i * p[j]] = false;

            if(i % p[j] == )

            {

                phi[i * p[j]] = phi[i] * p[j];

                break;

            }

            else

            phi[i * p[j]] = phi[i] * phi[p[j]];

        }

    }

}

int main()

{

    get_eular(N);

    memset(sum,,sizeof(sum));

    for(int i=;i<=1e5;i++)

    sum[i]=sum[i-]+phi[i];

    ll x,y;

    while(~scanf("%lld%lld",&x,&y))

    {

        if(x>y)swap(x,y);

        ll ans=;

        for(int L=,R=;L<=x;L=R+)

        {

            R=min(x/(x/L),y/(y/L));

            ans+=(sum[R]-sum[L-])*(x/L)*(y/L);

        }

        printf("%lld\n",*ans-x*y);

    }

    return ;

}

莫比乌斯：模版题；

　　　　　gcd（i,j）==k，枚举k；

　　　　　复杂度O（min（n,m)sqrt(n));

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define ll long long

#define esp 0.00000000001

#define pi 4*atan(1)

const int N=1e5+,M=1e7+,inf=1e9+,mod=1e9+;

ll mu[N], p[N], np[N], cnt, sum[N];

void init() {

    mu[]=;

    for(int i=; i<N; ++i) {

        if(!np[i]) p[++cnt]=i, mu[i]=-;

        for(int j=; j<=cnt && i*p[j]<N; ++j) {

            int t=i*p[j];

            np[t]=;

            if(i%p[j]==) { mu[t]=; break; }

            mu[t]=-mu[i];

        }

    }

    for(int i=;i<N;i++)

    sum[i]=sum[i-]+mu[i];

}

ll getans(int b,int d)

{

    ll ans=;

    for(int L=,R=;L<=b;L=R+)

    {

        R=min(b/(b/L),d/(d/L));

        ans+=(ll)(sum[R]-sum[L-])*(b/L)*(d/L);

    }

    return ans;

}

int main()

{

    init();

    int b,d,k;

    while(~scanf("%d%d",&b,&d))

    {

        if(b>d)swap(b,d);

        ll ans=;

        for(int i=;i<=b;i++)

        ans+=getans(b/i,d/i)*i;

        printf("%lld\n",*ans-(ll)b*d);

    }

    return ;

}