【51nod 1685】 第K大区间2

题目描述：

定义一个长度为奇数的区间的值为其所包含的的元素的中位数。现给出n个数，求将所有长度为奇数的区间的值排序后，第K大的值为多少。

样例解释：

[l,r]表示区间的值

[1]：3

[2]：1

[3]：2

[4]：4

[1,3]：2

[2,4]：2

第三大是2

Input

第一行两个数n和k(1<=n<=100000,k<=奇数区间的数量)

第二行n个数，0<=每个数<2^31

Output

一个数表示答案。

Input示例

4 3

3 1 2 4

Output示例

2

树状数组大小注意：1—n中不光有n个区间！

用树状数组求逆序对。为什么不用归并，因为题目要求的是奇区间。

所以两棵BIT，一棵记录奇区间，一个记录偶区间。

为什么求逆序对：

考虑这个题，求第k大，我们想到可以二分。如何判断二分？

不妨我们设二分x这个值前面有多少比他大的，那么对于一个区间L—R，大于等于x设为1，小于x设为-1

求一下前缀和。这样如果一个区间和大于0，这证明这个区间的中位数大于x，于是有sum[R] - sum[L-1] > 0，把这个式子转化一下：

因为上面式子>0就说明比他大的超过一半区间。

2 * (sum[R] - sum[L-1]) > R-(L-1)

2 * sum[R] - R > 2 * sum[L-1]-(L-1)

于是问题转化成了区间1—n的前缀和中有多少正序对。

不是很好理解，有点小绕。

原题作者题解为这样：

二分答案t，统计中位数大于等于t的区间有多少个。

设a[i]为前i个数中有a[i]个数>=t，若奇数区间[l,r]的中位数>=t，则(a[r]-a[l-1])2>r-l+1,即(a[r]2-r)>(a[l-1]2-l+1)。

设b[i]=a[i]2-i，统计每个b[i]有多少个b[j]<b[i](j<i 且 j和i奇偶性不同)

总复杂度O(nlognlogn)

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ll int
using namespace std;
const int maxn = 500000;
int n, k, ans, a[maxn], b[maxn], s[maxn], sum[maxn];
int bit[2][maxn];
int lowbit(int x)
{
	return x & -x;
}
void update(int flag, int pos)
{
	while(pos <= n*2)
	{
		bit[flag][pos]++;
		pos += lowbit(pos);
	}
}
ll query(int flag, int pos)
{
	ll res = 0;
	while(pos)
	{
		res += bit[flag][pos];
		pos -= lowbit(pos);
	}
	return res;
}
bool check(int mid)
{
	//cout<<mid<<"qwq\n";
	memset(bit, 0, sizeof(bit));
	memset(sum, 0, sizeof(sum));
	ans = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i-1] + (a[i] >= mid);
	for(int i = 1; i <= n; i++) sum[i] = 2*sum[i] - i+n;
	update(0, n);
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		ans += query(!(i&1), sum[i]-1);
		update(i&1,sum[i]);
	}
	//for(int i = 1; i <= n; i++) cout<<bit[0][i]<<" ";
	//cout<<"ans:"<<ans<<endl;
	return ans >= k;
}
int main()
{
	cin>>n>>k;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {cin>>a[i]; b[i] = a[i];}
	sort(b+1, b+1+n);
	int l = 1, r = n;
	while(l != r)
	{
		int mid = (l + r + 1) >> 1;
		//cout<<mid<<"qnq\n";
		if(check(b[mid])) l = mid; 

		else r = mid - 1;
	}
	cout<<b[l];
	return 0;
}