首先需要知道两个定理: 1: 费马小定理: 假如p是素数,且gcd(a,p)=1,那么 a(p-1)≡1(mod p). 2:二次探测定理:如果p是素数,x是小于p的正整数,且,那么要么x=1,要么x=p-1. 证明:这是显然的,因为相当于p能整除,也即p能整除(x+1)(x-1). 由于p是素数,那么只可能是x-1能被p整除(此时x=1) 或 x+1能被p整除(此时x=p-1). 接着 如果a^(n-1) ≡ 1 (mod n)成立,Miller-Rabin算法不是立即找另一个a进行测试,而是…

2018-03-12 17:22:48 米勒-拉宾素性检验是一种素数判定法则,利用随机化算法判断一个数是合数还是可能是素数.卡内基梅隆大学的计算机系教授Gary Lee Miller首先提出了基于广义黎曼猜想的确定性算法,由于广义黎曼猜想并没有被证明,其后由以色列耶路撒冷希伯来大学的Michael O. Rabin教授作出修改,提出了不依赖于该假设的随机化算法. 问题描述:对于大整数N,判断其是否为素数. 问题求解: 若N为偶数,直接返回false,若N是奇数,则进行以下几步进行判断: 将N -…

之前一直对于这个神奇的素性判定方法感到痴迷而又没有时间去了解.借着学习<信息安全数学基础>将素性这一判定方法学习一遍. 首先证明一下费马小定理. 若p为素数,且gcd(a, p)=1, 则有 a^(p-1) = 1 (mod p) 基于以下定理 若(a, p)=1,{x| (x, p)=1}为模p下的一个完全剩余系,则{ax| (x, p)=1}也为模p下的一个完全剩余系. 又{0, 1, 2, ... p-1}为模p下一个剩余系   因此有, {a*0, a*1, a*2, ... a*(p…

1552: Friends Time Limit: 3 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 723  Solved: 198[Submit][Status][Web Board] Description On an alien planet, every extraterrestrial is born with a number. If the sum of two numbers is a prime number, then two extraterrestr…

直接套用模板,以后接着用 这里还有一个素因子分解的模板 #include <map> #include <set> #include <stack> #include <queue> #include <cmath> #include <ctime> #include <vector> #include <cstdio> #include <cctype> #include <cstring&…

GCDLCM 题目链接(点击) 题目描述 In FZU ACM team, BroterJ and Silchen are good friends, and they often play some interesting games. One day they play a game about GCD and LCM. firstly BrotherJ writes an integer A and Silchen writes an integer B on the paper. The…

若干年之前的一道题,当时能写出来还是超级开心的,虽然是个板子题.一直忘记写博客,备忘一下. 米勒拉判大素数,关于米勒拉宾是个什么东西,传送门了解一下:biubiubiu~ B. Goldbach 题目传送门 自己看题意吧,直接贴代码了. 代码: #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> #include<cstdlib> #include<al…

题意:给定一个数,判断是不是素数. 析:由于数太多,并且太大了,所以以前的方法都不适合,要用米勒拉宾算法. 代码如下: #include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> #include <queue> #include <vector> #include <cstring> #include <map> #include <cctype> u…

C - Prime number or not Time Limit:2000MS     Memory Limit:32768KB     64bit IO Format:%I64d & %I64u Submit Status Practice FZU 1649 Description Your task is simple.Give you a number N, you should judge whether N is a prime number or not. Input There…

//我也忘了从哪找来的板子,不过对于2^63级的数据请考虑使用java内置的米勒拉宾算法. 1 #include <iostream> #include <string> #include <cstdio> #include <cmath> #include <cstring> #include <algorithm> #define range(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i) #define rera…

用来干嘛的 ​   要判断一个数 \(n\) 是否为素数,最朴素直接的办法是以\(O(\sqrt n)\) 时间复杂度地从2到 \(\sqrt n\) 循环即可得到最准确的结果.但是如果在 \(n\) 比较大的情况下,时间花销就太大了.这时,我们可以选择牺牲一点点准确度,使用可爱的米勒-拉宾(Miller-Rabin)素性检验算法来判断质数.根据百度百科,使用快速幂运算,这个算法的时间复杂度是 \(O(k\log^3 n)\)的,\(k\)是我们设定对一个数的进行测试的次数.\(k\) 越大,判…

题意: 给出n个数,判断它是不是素数. SOL: 米勒拉宾裸题,思想方法略懂,并不能完全理解,所以实现只能靠背模板.... 好在不是很长... Code: /*========================================================================== # Last modified: 2016-03-21 10:09 # Filename: miller-rabin.cpp # Description: =================…

题目链接:http://poj.org/problem?id=1811 题目解析:2<=n<2^54,如果n是素数直接输出,否则求N的最小质因数. 求大整数最小质因数的算法没看懂,不打算看了,直接贴代码,以后当模版用. 数据比较大,只能先用Miller_Rabin算法进行素数判断. 在用Pollard_rho分解因子.   #include <iostream> #include <stdio.h> #include <string.h> #include…

\(Miller-Rabin\)​素数测试 用途 判断整数\(n\)是否是质数,在\(n\)较小的情况下,可以使用试除法,时间复杂度为\(O(\sqrt n)\).但当\(n\)的值较大的时候,朴素的试除法已经不能在规定时间内解决问题.此时,我们可以用\(Miller-Rabin\)素数测试算法,时间复杂度可以降低至\(O(\log_2n)\). 引理 费马小定理 若\(a,p \in \mathbb{Z}\),\(p\)为质数,则 \[ a^{p-1} \equiv 1(mod\;p) \]…

//**************************************************************** // Miller_Rabin 算法进行素数测试 //速度快,而且可以判断 <2^63的数 //**************************************************************** ;//随机算法判定次数,S越大,判错概率越小 LL mult_mod(LL a,LL b,LL mod) //(a*b)%c a,b,c<…

在以往判断一个数n是不是素数时,我们都是采用i从2到sqrt(n)能否整除n.如果能整除,则n是合数;否则是素数.但是该算法的时间复杂度为O(sqrt(n)),当n较大时,时间性能很差,特别是在网络安全和密码学上一般都是需要很大的素数.而从目前来看,确定性算法判断素数的性能都不好,所以可以用MC概率算法来解决,其中Miller Rabin算法就是其中的很经典的解决方法.下面首先介绍下相关的数学理论. 数学原理 Fermat小定理:若n是素数,则对所有1≤a≤n-1的整数a,有a^(n-1)mod…

K. Upside down primes 传送门 这个题就是把大数按字符串输进去,判断一下是不是素数,然后反转180度,先判断反转之后的东西是不是一个数,如果是的话,再把这个数判一下是不是素数,如果都满足条件就yes. 直接调用两次米勒拉宾判大素数就可以了. 代码: //K-米勒拉宾判大素数 #include<iostream> #include<algorithm> #include<cstring> #include<iomanip> #include…

Prime Test Time Limit: 6000MS   Memory Limit: 65536K Total Submissions: 29046   Accepted: 7342 Case Time Limit: 4000MS Description Given a big integer number, you are required to find out whether it's a prime number. Input The first line contains the…

POJ1811 给一个大数,判断是否是素数,如果不是素数,打印出它的最小质因数 随机素数测试(Miller_Rabin算法) 求整数素因子(Pollard_rho算法) 科技题 #include<cstdlib> #include<cstdio> ; ; int tot; long long n; long long factor[maxn]; long long muti_mod(long long a,long long b,long long c) { //(a*b) mod…

#include<iostream> #include<cmath> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; long long mul(long long a,long long n,long long mo){ ; while (n){ ) ans=(ans+a)%mo; a=(a+a)%mo; n/=; } return ans;…

费马定理的逆定理几乎可以用来判断一个数是否为素数,但是有一些数是判断不出来的,因此,Miller_Rabin测试方法对费马的测试过程做了改进,克服其存在的问题. 推理过程如下(摘自维基百科): 摘自另一篇博文(手动滑稽): 原理明白了,就直接上代码了(KuangBin大神的板子): 代码思路是, Miller_Rabin()函数随机选取 s 个a,a用做“基底” check() 函数是用来判断x是否等于1,也就是判断a是否是n的凭证. Mul_mod()函数是 快速乘 ,求 a^t % n 之后…

引语:在数论中,对于素数的研究一直就很多,素数测试的方法也是非常多,如埃式筛法,6N±1法,或者直接暴力判(试除法).但是如果要判断比较大的数是否为素数,那么传统的试除法和筛法都不再适用.所以我们需要学习Miller_Rabin算法. 知识准备 + 算法推导: 1.威尔逊定理:若p是素数,则 (p-1) !≡ -1(mod p). 2.有趣的是,威尔逊定理的逆命题也是正确的:设n是正整数且 n ≥ 2 ,若 (n-1) !≡ -1(mod n),则n 是素数. 很多朋友可能在学习的时候会碰到威尔…

基本原理: 费尔马小定理:如果p是一个素数,且0<a<p,则a^(p-1)%p=1.        利用费尔马小定理,对于给定的整数n,可以设计素数判定算法,通过计算d=a^(n-1)%n来判断n的素性,当d!=1时,n肯定不是素数,当d=1时,n  很可能是素数. 二次探测定理:如果p是一个素数,且0<x<p,则方程x^2%p=1的解为:x=1或x=p-1.        利用二次探测定理,可以再利用费尔马小定理计算a^(n-1)%n的过程中增加对整数n的二次探测,一旦发现违背二…

Senior PanⅡ Time Limit: 4000/2000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 524288/524288 K (Java/Others) Problem Description Senior Pan had just failed in his math exam, and he can only prepare to make up for it. So he began a daily task with Master Dong, D…

一.RSA与公钥加密系统的起源与影响. 为了更好地突出公钥加密系统相对私钥加密系统的优势,让我们从这两个问题开始: 这个世界上如果没有公钥加密系统会怎么样呢?全用私钥加密系统会出现什么问题呢? 首先,私钥密码系统中的密码,加密解密之间是存在共享性的,也就是说,会加密就能做到会解密,会解密也就能做到会加密. 如果私钥密码系统用来做数字签名,会发生什么呢?你只要告诉了别人验证你的数字签名的正确性方法(解密),就同时告诉了他们伪造这个数字签名的方法(加密).瞬间爆炸Orz. 其次,私钥加密系统需要有一…

额,我们今天来讲一讲Miller-Rabin素性测试算法. 读者:怎么又是随机算法!!!(⊙o⊙)… [好了,言归正传] [费马小定理] 费马小定理只是个必要条件,符合费马小定理而非素数的数叫做Carmichael Carmichael数是非常少的. 在1~100000000范围内的整数中,只有255个Carmichael数. 为此又有二次探测定理,以确保该数为素数. 这就构成了Miller-Rabin的基本原理 ╰(￣▽￣)╭ [二次探测定理] 二次探测定理 如果p是一个素数,0<x<p,则…

板题 Miiler-Robin素数测试 目前已知分解质因数以及检测质数确定性方法就只能\(sqrt{n}\)试除 但是我们可以基于大量测试的随机算法而有大把握说明一个数是质数 Miler-Robin素数测试基于以下两个原理: 费马小定理 即我们耳熟能详的 对于质数\(p\) \[a^{p - 1} \equiv 1 \pmod p\] 二次探测原理 对于质数\(p\),如果存在\(x\)满足 \[x^2 \equiv 1 \pmod p\] 那么\(x\)只能是\(1\)或者\(p - 1\)…

Prime Test Time Limit: 6000MS   Memory Limit: 65536K Total Submissions: 27129   Accepted: 6713 Case Time Limit: 4000MS Description Given a big integer number, you are required to find out whether it's a prime number. Input The first line contains the…

链接:传送门 题意:题目给出费马小定理:Fermat's theorem states that for any prime number p and for any integer a > 1, ap = a (mod p). 我们知道Miller-Rabin素数测试的算法原理就是基于费马小定理的,因为我们在测试底数的时候只是随机一些 a ,所以可能有的合数就脸一白通过了测试,于是就产生了伪素数这一概念,现在给你一对 p and a,判断 p 是否是以 a 为基的伪素数 思路:对于素数来说是不…

1.Miller-Rabin是干啥的?它是用来检测一个数字(一般是很大的数字)是不是素数: 2.Miller-Rabin算法基于的两个定理: (1)费尔马小定理:如果p是一个素数,且0<a<p,则a^(p-1)%p=1.利用费尔马小定理,对于给定的整数n,可以设计素数判定算法,通过 计算d=a^(n-1)%n来判断n的素性,当d!=1时,n肯定不是素数,当d=1时,n 很可能是素数. (2)二次探测定理:如果p是一个素数,且0<x<p,则方程x^2%p=1的解为:x=1或x=p-1…