大意: 定义函数$f_r(n)$, $f_0(n)$为pq=n且gcd(p,q)=1的有序对(p,q)个数. $r \ge 1$时, $f_r(n)=\sum\limits_{uv=n}\frac{f_{r-1}(u)+f_{r-1}(v)}{2}$. $q$组询问, 求$f_r(n)$的值模1e9+7. 显然可以得到$f_0(n)=2^{\omega(n)}$, 是积性函数. 所以$f_r=f_{r-1}*1$也为积性函数, 然后积性函数$dp$即可. 问题就转化为对每个素数$p$, 求$dp…

http://codeforces.com/contest/757/problem/E 题意 Sol 非常骚的一道题 首先把给的式子化一下,设$u = d$,那么$v = n / d$ $$f_r(n) = \sum_{d \mid n} \frac{f_{r - 1}(d) + f_{r - 1}(\frac{n}{d})}{2}$$ $$= \sum_{d\mid n} f_{r - 1}(d)$$ 很显然,这是$f_r(n)$与$1$的狄利克雷卷积 根据归纳法可以证明$f_r(n)$为积性…

大意: 初始一个数字$n$, 每次操作随机变为$n$的一个因子, 求$k$次操作后的期望值. 设$n$经过$k$次操作后期望为$f_k(n)$. 就有$f_0(n)=n$, $f_k(n)=\frac{\sum\limits_{d|n}{f_{k-1}(d)}}{\sigma_0(n)}, k>0$. 显然$f_k(n)$为积性函数, $dp$算出每个素因子的贡献即可. #include <iostream> #include <sstream> #include <a…

链接 codeforces 题解 结论:\(f_0(n)=2^{n的质因子个数}\)= 根据性质可知\(f_0()\)是一个积性函数 对于\(f_{r+1}()\)化一下式子 对于 \[f_{r+1} = \sum_{d|n}f_r(d)\] \(f_r+1\)可以看做\(f_r()\)和\(g(d)\)的狄利克雷卷积因为\(f_0()\)是积性函数,\(g(d)\)也是积性函数,由卷积性质得\(f_{r+1}()\)也是积性函数,那么\(f_r\)同理 对于\(n\)质因数分解得到: \[n=…

题目链接 \(Description\) q次询问,每次给定r,n,求\(F_r(n)\). \[ f_0(n)=\sum_{u\times v=n}[(u,v)=1]\\ f_{r+1}(n)=\sum_{u\times v=n}\frac{f_r(u)+f_r(v)}{2}\] \(Solution\) 首先将\(f_r\)的式子化为 \[ f_{r+1}(n)=\sum_{d|n}f_r(d)\] 即\(f_{r+1}(n)\)为\(f_r(n)\)与\(g(n)=1\)的狄利克雷卷积.…

题目链接:http://codeforces.com/contest/1097/problem/D 题目大意:给你n和k,每一次可以选取n的因子代替n,然后问你k次操作之后,每个因子的期望. 具体思路:对于给定的n,我们可以将n转换为,n=p1^(k1)*p2^(k2)*p3^(k3)......,然后我们求期望的时候,我们可以求每个因子的期望,然后再将每个因子的期望相乘就可以了(积性函数的性质). 然后我们使用一个dp数组,dp[i][j]代表某一个因子,经过i次操作,出现j次的概率. 数学期…

https://oj.neu.edu.cn/problem/1460 思路:若n=(p1^a1)*(p2^a2)...(pn^an),则f(n,0)=a1*a2*...*an,显然f(n,0)是积性函数,对于f(x,y)可以看出他是f(x,y-1)与自身进行狄利克雷卷积得到的结果,所以f(x,y)也是积性函数.因此,只要对n质因子分解,然后与预理出次方的dp值即可.注意积性函数的概念中a,b必须互质! #include<bits/stdc++.h> #define int long long…

题目:http://codeforces.com/contest/757/problem/E f0[n]=2^m,其中m是n的质因子个数(种类数).大概是一种质因数只能放在 d 或 n/d 两者之一. 然后应该发现因为 f0 是积性的,所以 fr 也是积性的!因为是卷积得来的. 这样就能把每个质因数分开.对于每种质因数考虑 fr 的转移,则 f [ r ][ p^k ] = sigma(i:0~k) ( f [ r-1 ][ p^i ] ) . 应该发现 f0 里每种质因数的值只和其次数有关,从…

题目:http://codeforces.com/contest/757/problem/E 首先,f0(n)=2m,其中 m 是 n 的质因数的种类数: 而且 因为这个函数和1卷积,所以是一个积性函数,就可以每个质因子单独考虑: 而 f0(pq) = 2,对于每个质因子都一样! 所以可以 DP 预处理 而fr(n) = fr(p1e1) * fr(p2e2) * ... * fr(pqeq)fr(n) = dp[r][e1] * dp[r][e2] * ... * dp[r][eq] 学到了质…

[题目链接]:http://codeforces.com/problemset/problem/757/E [题意] 给你q个询问; 每个询问包含r和n; 让你输出f[r][n]; 这里f[0][n]是n分解成两个数u,v的乘积的个数; 这里u和v互质; 而f[r][n]当r>0时,有个递推式; [题解] 那个递推式等价于 即n的所有因子x的f[r][x]的和; 这里需要知道; f[0][n]=2n的不同质因子个数 且容易得到 当a和b互质的时候,f[0][a*b]=f[0][a]*f[0][b…

题目链接: http://codeforces.com/contest/757/problem/E?csrf_token=f6c272cce871728ac1c239c34006ae90 题目: 题解: $f_0(n) = 2^{n的不同质因子的个数}$ $ f_r(n) = \sum_{d|n}f_{r-1}(d)$ $f_0$是积性函数 , $f_r = f_0 * Id^r (1) $也是积性函数 , 所以只需要求$f_r(p^k)$就行了 $f_r(p^k)$与p无关 , $f_0(p^…

Discription Bash got tired on his journey to become the greatest Pokemon master. So he decides to take a break and play with functions. Bash defines a function f0(n), which denotes the number of ways of factoring n into two factors p and q such that …

题解 q<=1e6,询问非常多.而n,r也很大,必须要预处理所有的答案,询问的时候,能比较快速地查询. 离线也是没有什么意义的,因为必须递推. 先翻译$f_0(n)$ $f_0(n)=\sum_d|n[(d,\frac{n}{d})=1]$ 一个数的约数和约数的另一半互质,那么,必须意味着,对于n的每个质因子,要么全在d,要么全在n/d否则就不互质了,就是0 对于互质时,每个质因子有两种选择情况, 所以,f0就是$2^m$其中,m是n的质因子种类数. 然后还要处理fr的递推式. 发现,还是和n的…

推导: 设d=gcd(i,j) 利用莫比乌斯函数的性质 令sum(x,y)=(x*(x+1)/2)*(y*(y+1)/2) 令T=d*t 设f(T)= T可以分块.又由于μ是积性函数,积性函数的约束和仍是积性函数,所以f也是积性函数,可以O(n)线性筛求得.总时间复杂度为 具体筛法看代码. 代码: #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; #define mod…

Happy 2004 题意:s为2004^x的因子和,求s%29.     (题于文末) 知识点: 素因子分解:n = p1 ^ e1 * p2 ^ e2 *..........*pn ^ en 因子和:    Sum=(p1^0+p1^1-.p1^e1)*(p2^0+p2^1-p2^e2)--(pn^0+-pn^en) =; 积性函数:s(xy)=s(x)*s(y)    (比如:幂函数,因子和,欧拉函数,莫比乌斯函数) 对于正整数n的一个算术函数 f(n),若f(1)=1,且当a,b互质时f…

G - Happy 2004 Time Limit:1000MS     Memory Limit:32768KB     64bit IO Format:%I64d & %I64u Submit Status Practice HDU 1452 Description Consider a positive integer X,and let S be the sum of all positive integer divisors of 2004^X. Your job is to dete…

3871. GCD Extreme Problem code: GCDEX Given the value of N, you will have to find the value of G. The meaning of G is given in the following code G=0; for(k=i;k< N;k++) for(j=i+1;j<=N;j++) { G+=gcd(k,j); } /*Here gcd() is a function that finds the g…

题意:求∑gcd(i,n),1<=i<=n思路:f(n)=∑gcd(i,n),1<=i<=n可以知道,其实f(n)=sum(p*φ(n/p)),其中p是n的因子.为什么呢?原因如下:1到n中有m个数字和n拥有公共的最大因子p,那么就需要把m*p加入答案中.问题是如何计算m的个数.因为假设某个数i与n的最大公约数为p,那么gcd(i,n) = p,可以得到gcd(i/p,n/p)=1.也就是说,有多少个i,就有多少个i/p与n/p互质.那么显然m即为n/p的欧拉函数φ(n/p). 知…

思路:首先给出几个结论: 1.gcd(a,b)是积性函数: 2.积性函数的和仍然是积性函数: 3.phi(a^b)=a^b-a^(b-1); 记 f(n)=∑gcd(i,n),n=p1^e1*p2^e2……; 则 f(n)=∑d*phi(n/d) (d是n的约数)           =∑(pi*ei+pi-ei)*pi^(ei-1). 代码如下: #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include&…

题目链接 题意 : 给你一个X,让你求出2004的X次方的所有因子之和,然后对29取余. 思路 : 原来这就是积性函数,点这里这里这里,这里讲得很详细. 在非数论的领域,积性函数指所有对于任何a,b都有性质f(ab)=f(a)f(b)的函数. 在数论中的积性函数:对于正整数n的一个算术函数 f(n),若f(1)=1,且当a,b互质时f(ab)=f(a)f(b),在数论上就称它为积性函数. 若对于某积性函数 f(n),就算a, b不互质,也有f(ab)=f(a)f(b),则称它为完全积性的. s(…

2693: jzptab Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 512 MBSubmit: 444  Solved: 174[Submit][Status][Discuss] Description   Input 一个正整数T表示数据组数 接下来T行 每行两个正整数 表示N.M Output T行 每行一个整数 表示第i组数据的结果 Sample Input 1 4 5 Sample Output 122 HINT T <= 10000 N, M<=100000…

题目意思:2004^x的所有正因数的和(S)对29求余:输出结果: 原题链接 题目解析:解析参照来源:点击打开链接 因子和 6的因子是1,2,3,6; 6的因子和是s(6)=1+2+3+6=12; 20的因子是1,2,4,5,10,20; 20的因子和是s(20)=1+2+4+5+10+20=42; 2的因子是1,2; 2的因子和是s(2)=1+2=3; 3的因子是1,3; 3的因子和是s(3)=1+3=4; 4的因子和是 s(4)=1+2+4=7; 5的因子和是 s(5)=1+5=6; s(6…

Divisor counting 题目大意:定义f(n)表示整数n的约数个数.给出正整数n,求f(1)+f(2)+...+f(n)的值. 注释:1<=n<=1000,000 想法:我们再次有两种做法:文...武......想讲武的......我们其实这次更博只是为了介绍一种知识点——线性筛法筛积性函数.这里,给出线性筛的万能筛法. 1.初值:显然,初值是必要的. 2.我们类比欧拉筛,用k(n)举例.当n是素数时的情况使我们必须的,这相当于初值一样重要. 3.又因为,我们主要筛积性函数,显然函数…

积性函数 数论函数指的是定义在正整数集上的实或复函数. 积性函数指的是当 \((a,b)=1\) 时, 满足 \(f(a*b)=f(a)*f(b)\) 的数论函数. 完全积性函数指的是在任何情况下, 满足 \(f(a*b)=f(a)*f(b)\) 的数论函数. 常见的积性函数 copy&modified from 积性函数 - 维基百科,自由的百科全书 φ(n) -欧拉函数 μ(n) -莫比乌斯函数,关于非平方数的质因子数目 gcd(n,k) -最大公因子,当k一定 d(n) -n的正因子数目…

链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/392/C来源:牛客网 题目描述 华华刚刚帮月月完成了作业.为了展示自己的学习水平之高超,华华还给月月出了一道类似的题: Ans=⊕Ni=1(iNmod(109+7))Ans=⊕i=1N(iNmod(109+7)) ⊕⊕符号表示异或和,详见样例解释. 虽然月月写了个程序暴力的算出了答案,但是为了确保自己的答案没有错,希望你写个程序帮她验证一下. 输入描述: 输入一个正整数N. 输出描述: 输出答案Ans. 示例1 输入…

Happy 2004 Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 2183    Accepted Submission(s): 1582 Problem Description Consider a positive integer X,and let S be the sum of all positive integer di…

题意:要求对于1~n,每个数的约数(不包括1和其本身)的和. 题解:由于题目数据有2*10^9之大,因而不能直接暴力.需要考虑积性函数的特性,由于必定有重复的约数出现,因而可以对重复约数所在的区间进行合并.由于对于较小的约数,其对应的较大的约数重复区间较小,所以可以先将较小的约数进行合并操作,然后对其对应的较大的约数的区间进行求和.以n=10为例,对于约数2而言,1~10中有2的约数的有10/2-1个(要减去2本身),而对于2在1~10内相对应的约数4和5,则可以直接进行求和操作,求和区间为[s…

传送门 比赛秒写完ABC结果不会D--最后C还fst了qwq 首先可以想到一个约数个数\(^2\)乘上\(K\)的暴力DP,但是显然会被卡 在\(10^{15}\)范围内因数最多的数是\(978217616376000=2^6 \times 3^4 \times 5^3 \times 7^2 \times 11 \times 13 \times 17 \times 19 \times 23 \times 29\),它有\(26880\)个因数 但是不难发现:在我们的答案中参与计算的只有约数个数函…

Deciphering Password Time Limit: 5000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 2357    Accepted Submission(s): 670 Problem Description Xiaoming has just come up with a new way for encryption, by calculati…

GCD?LCM! Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 131072/131072 K (Java/Others)Total Submission(s): 316    Accepted Submission(s): 200 Output T lines, find S(n) mod 258280327. Sample Input 8 1 2 3 4 10 100 233 11037 Sample Output 1 5 1…