[BZOJ 2154]Crash的数字表格(莫比乌斯反演+数论分块) 题面 求 \[\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} \mathrm{lcm}(i,j)\] 分析 \[\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} \mathrm{lcm}(i,j)\] \[=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} \frac{i j}{\mathrm{gcd}(i, j)}\] \[=\sum_{g=1}^{n} \sum_{i=1}^{n/g} \s…

2154: Crash的数字表格 Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 259 MBSubmit: 2924  Solved: 1091[Submit][Status][Discuss] Description 今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple).对于两个正整数a和b,LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数.例如,LCM(6, 8) = 24.回到家后,Crash还在想着课上学的东西,为了研究…

题目描述 TTT组数据,给出NNN,MMM,求∑x=1N∑y=1Mlim(x,y)\sum_{x=1}^N\sum_{y=1}^M lim(x,y)\newlinex=1∑N​y=1∑M​lim(x,y) N,M<=10000000T<=10000N,M <= 10000000\newline T<= 10000N,M<=10000000T<=10000 题目分析 直接开始变换,假设N<M Ans=∑x=1N∑y=1Mxy(x,y)=∑T=1N1T∑x=1N∑y=…

题目描述 今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple).对于两个正整数a和b,LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数.例如,LCM(6, 8) = 24.回到家后,Crash还在想着课上学的东西,为了研究最小公倍数,他画了一张N*M的表格.每个格子里写了一个数字,其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j).一个4*5的表格如下: 1  2  3  4  5 2  2  6  4  10 3  6  3  12 15 4…

[题意]给定n,m,求Σlcm(i,j),1<=i<=n,1<=j<=m,n,m<=10^7. [算法]数论(莫比乌斯反演) [题解] $$ans=\sum_{i\leq n}\sum_{j\leq m}\frac{i*j}{gcd(i,j)}$$ $$ans=\sum_{d\leq min(n,m)}1/d\sum_{i\leq n}\sum_{j\leq m}[gcd(i,j)=d]i*j$$ $$ans=\sum_{d\leq min(n,m)}d\sum_{i\leq…

求$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n lcm(i,j)$ 枚举因数 $ans=\sum_{d<=n} F(d) * d$ $F(d)$表示给定范围内两两$\sum_{gcd(i,j)=d} i*j $ 令$f(p)=Sum(\lfloor n/p \rfloor) Sum(\lfloor m/p \rfloor) * p^2$ 那么 $f(i)=\sum_{i \mid n}F(n)$ 反演得到$F(i)=\sum_{i \mid n} \mu(n/i) f(n)$ 那么我们代入…

考虑到\(lcm(i,j)=\frac{ij}{gcd(i,j)}\) \(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\frac{ij}{gcd(i,j)}\) \(\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)==d]\frac{ij}{d}\) \(\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}[gcd(i,j)==1]{ijd}\) \(=\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^…

题意:求\(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m\frac{i*j}{gcd(i,j)}\) 题解:\(ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m \frac{i*j}{gcd(i,j)}\) \(=\sum_{d=1}^{min(n,m)}d\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{d} \rfloor}i*j[gcd(i,j)==1]\) \(=\sum_{d=1}^{…

求: \(S(n,m)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}lcm(i,j)\) 显然: \(S(n,m)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\frac{ij}{gcd(i,j)}\) 枚举g: \(S(n,m)=\sum\limits_{g=1}^{n}\frac{1}{g}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}ij[gcd(i,j)==g]\) 除以…

数字表格 Time Limit: 50 Sec  Memory Limit: 128 MB[Submit][Status][Discuss] Description Doris刚刚学习了fibonacci数列.用f[i]表示数列的第i项,那么 f[0]=0 f[1]=1 f[n]=f[n-1]+f[n-2],n>=2 Doris用老师的超级计算机生成了一个n×m的表格,第i行第j列的格子中的数是f[gcd(i,j)],其中gcd(i,j)表示i,j的最大公约数.Doris的表格中共有n×m个数,…

题目描述 Doris刚刚学习了fibonacci数列.用f[i]表示数列的第i项,那么 f[0]=0 f[1]=1 f[n]=f[n-1]+f[n-2],n>=2 Doris用老师的超级计算机生成了一个n×m的表格,第i行第j列的格子中的数是f[gcd(i,j)],其中gcd(i,j)表示i, j的最大公约数.Doris的表格中共有n×m个数,她想知道这些数的乘积是多少.答案对10^9+7取模. 输入 有多组测试数据. 第一个一个数T,表示数据组数. 接下来T行,每行两个数n,m T<=100…

[Sdoi2017]数字表格 题意:求 \[ \prod_{i=1}^n \prod_{j=1}^m f[(i,j)] \] 考场60分 其实多推一步就推倒了... 因为是乘,我们可以放到幂上 \[ \prod_{d=1}^n \prod_{i=1}^{\frac{n}{d}}\prod_{i=1}^{\frac{m}{d}} f[d]^{[(i,j)=1]} \] 套路一直推完 \[ \prod_{D=1}^n \prod_{d|D} f[d]^{\mu(\frac{D}{d}) \cdot…

传送门 做莫比乌斯反演题显著提高了我的\(\LaTeX\)水平 推式子(默认\(N \leq M\),分数下取整,会省略大部分过程) \(\begin{align*} \prod\limits_{i=1}^N \prod\limits_{j=1}^M f[gcd(i,j)] & = \prod\limits_{d=1}^N f[d]^{\sum\limits_{i=1}^\frac{N}{d} \sum\limits_{j=1}^\frac{M}{d}[gcd(i,j)==1]} \\ &…

题目链接 总感觉博客园的\(Markdown\)很..\(gouzhi\),可以看这的. 这个好像简单些啊,只要不犯sb错误 [Update] 真的算反演中比较裸的题了... \(Description\) 用\(f[i]\)表示\(Fibonacci\)数列的第\(i\)项,求\[\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^mf[\gcd(i,j)]\mod (10^9+7)\] \(Solution\) \[ \begin{aligned} Ans &=\prod_{i=1}^n\pr…

大力反演出奇迹. 然后xjb维护. 毕竟T1 #include <map> #include <ctime> #include <cmath> #include <queue> #include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define F(i,j,k) fo…

link 设\(f_0=0,f_1=1,f_n=f_{n-1}+f_{n-2}(n\ge 2)\) 求\(\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^mf_{\gcd(i,j)}\),多组询问,\(T\le1000,n,m\le10^6\) 推导过程稍微有点难,因为有prod而不是清一色的sum了 不过总体还是不难的 \(\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^mf_{\gcd(i,j)}\) \(=\prod_{p=1}^nf_p^{\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}…

题意:$\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^m {lcm(i,j)} } $ 解题关键: $\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^m {lcm(i,j)} }  = \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^m {\frac{{i*j}}{{\gcd (i,j)}}} } $ 枚举gcd,上式化为: $\sum\limits_{d = 1}^{\min (…

[BZOJ2154]Crash的数字表格(莫比乌斯反演) 题面 BZOJ 简化题意: 给定\(n,m\) 求\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mlcm(i,j)\] 题解 以下的一切都默认\(n<m\) 我们都知道\(lcm(i,j)=\frac{ij}{gcd(i,j)}\) 所以所求化简 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\frac{ij}{gcd(i,j)}\] 看到\(gcd(i,j)\)很不爽,于是就再提出来 \[\sum_{d=1}^{n}\sum_…

Crash的数字表格 Description 今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple).对于两个正整数a和b,LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数.例如,LCM(6, 8) = 24.回到家后,Crash还在想着课上学的东西,为了研究最小公倍数,他画了一张NM的表格.每个格子里写了一个数字,其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j).一个4 5的表格如下: 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12…

题面 传送门:洛咕 Solution 调到自闭,我好菜啊 为了方便讨论,以下式子\(m>=n\) 为了方便书写,以下式子中的除号均为向下取整 我们来颓柿子吧qwq 显然,题目让我们求: \(\large \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m lcm(i,j)\) \(lcm\)没法玩,我们转到\(gcd\)形式: \(\large \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m \frac{i*j}{gcd(i,j)}\) 根据套路,我们去枚举\(gcd\) \(\large \s…

Crash的数字表格 Description 今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple).对于两个正整数a和b,LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数.例如,LCM(6, 8) = 24.回到家后,Crash还在想着课上学的东西,为了研究最小公倍数,他画了一张N*M的表格.每个格子里写了一个数字,其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j).一个4*5的表格如下: 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 1…

BZOJ 2154 crash的数字表格 Description 今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple).对于两个正整数a和b,LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数.例如,LCM(6, 8) = 24.回到家后,Crash还在想着课上学的东西,为了研究最小公倍数,他画了一张N*M的表格.每个格子里写了一个数字,其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j).一个4*5的表格如下: 1 2 3 4 5 2 2 6 4…

传送门--Luogu 传送门--BZOJ2154 BZOJ2693是权限题 其中JZPFAR是多组询问,Crash的数字表格是单组询问 先推式子(默认\(N \leq M\),所有分数下取整) \(\begin{align*} \sum\limits_{i=1}^N \sum\limits_{j=1}^M lcm(i,j) & = \sum\limits_{i=1}^N \sum\limits_{j=1}^M \frac{ij}{gcd(i,j)} \\ & = \sum\limits_{…

BZOJ2154 Crash的数字表格 Description 今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple).对于两个正整数a和b,LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数.例如,LCM(6, 8) = 24.回到家后,Crash还在想着课上学的东西,为了研究最小公倍数,他画了一张N*M的表格.每个格子里写了一个数字,其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j).一个4*5的表格如下: 1 2 3 4 5 2 2 6 4 1…

2154: Crash的数字表格 Description 今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple).对于两个正整数a和b,LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数.例如,LCM(6, 8) = 24.回到家后,Crash还在想着课上学的东西,为了研究最小公倍数,他画了一张N*M的表格.每个格子里写了一个数字,其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j).一个4*5的表格如下: 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3…

莫比乌斯反演 PoPoQQQ讲义第4题 题解:http://www.cnblogs.com/jianglangcaijin/archive/2013/11/27/3446169.html 感觉两次sqrt(n)的枚举是亮点…… RE:汗- -b 10^7是8位数,开数组少打了一个0…… /************************************************************** Problem: 2154 User: Tunix Language: C++ Re…

题解-[国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB 前置知识: 莫比乌斯反演 </> [国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB 单组测试数据,给定 \(n,m\) ,求 \[\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\operatorname{lcm}(i,j)\bmod 20101009 \] 数据范围:\(1\le n,m\le 10^7\). 作为写出了最暴力的做法的蒟蒻,来推个式子. \(n\le m\),一气呵成: \[\begi…

P1829 [国家集训队]Crash的数字表格 原题传送门 前置芝士 莫比乌斯反演 乘法逆元 数论分块 正文 //补充:以下式子中的除法均为整除 由题目可以得知,这道题让我们所求的数,用一个式子来表达即为:\(\boxed{ANS=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m LCM(i,j)}\) 而根据莫比乌斯反演的内容,我们可以对右边的式子进行进一步的推导: \[\begin{align} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m LCM(i,j)&=\sum_{i=1}^…

题目 弱化版题目的传送门([BZOJ2154]Crash的数字表格) 加强版题目的传送门([BZOJ2693]jzptab) 思路&解法 题目是要求: \(\sum\limits_{i = 1}^{n}\sum\limits_{j = 1}^{m}lcm(i, j)\) 于是我们可以把式子化成这样: \[\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}\frac{ij}{gcd(i, j)}\] 然后我们枚举gcd \[\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{…

Crash的数字表格 求\(\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Mlcm(i,j)\) 解 设\(N<M\),显然有 \[\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M\frac{ij}{gcd(i,j)}=\sum_{d=1}^N\frac{1}{d}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Mij(gcd(i,j)==d)\] 设 \[f(k)=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Mij(gcd(i,j)==k)\] \[F(k)=\sum_{i=1}^{N}\su…