Cayley 公式的一些广为人知的证法: Prufer 序列 Matrix-Tree 定理 然而我都不会 233,所以下面说一个生成函数角度的证法 . 我们知道 \(n\) 个节点的有标号无根树有 \(n^{n-2}\) 种,即 Cayley 公式 . 具体数学的做法是考虑递推完全图生成树个数,然后推出 EGF 的关系 . 那个递推太牛逼了,我就不这么干了,先令 \(g_n\) 表示 \(n\) 个节点的有标号有根树个数(\(g_0=0\)),且其 EGF 为 \(G(z)\) . 钦定一个根,…

先安利一发.让我秒懂.. 第一次讲这个是在寒假...然而当时秦神太巨了导致我这个蒟蒻自闭+颓废...早就忘了这个东西了... 结果今天老师留的题中有两道这种的:Luogu P4981 P4430 然后决定了解一下... 一.Prufer序列 Prufer序列,可以用来解一些关于无根树计数的问题. Prufer序列是一种无根树的编码表示,对于一棵n个节点带编号的无根树,对应唯一一串长度为n-1的Prufer编码,这性质很好. 1.无根树转化为Prufer序列 首先定义无根树中度数为1的节点是叶子节…

原文出处:https://www.cnblogs.com/dirge/p/5503289.html 树的计数 + prufer序列与Cayley公式 学习笔记(转载) 首先是 Martrix67 的博文:http://www.matrix67.com/blog/archives/682 然后是morejarphone同学的博文:http://blog.csdn.net/morejarphone/article/details/50677172 因为是偶然翻了他的这篇博文,然后就秒会了. pruf…

最近学习了Prüfer编码与Cayley公式,这两个强力的工具一般用于解决树的计数问题.现在博主只能学到浅层的内容,只会用不会证明. 推荐博客:https://blog.csdn.net/morejarphone/article/details/50677172 (Prüfer编码与树的转换) https://www.cnblogs.com/dirge/p/5503289.html (几类树的计数问题) 主要的知识还是挺少的, 树转成Prufer编码:找到当前叶子节点中编号最小的那个点x,输出与…

CayleyCayley公式的定义是这样的,对于n个不同的节点,能够组成的无根树(原来是无向连通图或者是有标志节点的树)的种数是n^(n-2)种.(这里让大家好理解一点,就写成了无根树,其实应该是一样的概念) 那么我们的初步问题就解决了,接下来就是解决无根树和有根树之间的转换. 但是转换很难吗?把有根树转换成根节点有nn种情况的无根树,也就是n^(n-2) * n,化简就是n^(n-1).答案也就是这个玩意了. 因为这道题,n比较大,所以就用一下快速幂. #include <iostream>…

首先是 Martrix67 的博文:http://www.matrix67.com/blog/archives/682 然后是morejarphone同学的博文:http://blog.csdn.net/morejarphone/article/details/50677172 因为是偶然翻了他的这篇博文,然后就秒会了. prufer数列,可以用来解一些关于无根树计数的问题. prufer数列是一种无根树的编码表示,对于一棵n个节点带编号的无根树,对应唯一一串长度为n-1的prufer编码. (…

${\color{Teal} {Ceva定理}}$设$D.E.F$依次为三角形ABC的边$AB.BC.CA$的内点,记 $λ$=(A,B,D),$μ$=(B,C,E),$v$=(C,A,F) 求证:三条线段$AE.BF.CD$交于一点的充要条件是$λμv$=1 $\textbf{法一(向量法)}$ pf: 因为$$λ=(A,B,D)$$所以$$λ=\frac{AD}{DB}$$所以$$\overrightarrow {AD}=\frac{λ}{1+λ}\overrightarrow {AB}$$…

按:今天看Tanenbaum的计算机网络时讲到了Dijkstra算法.关于算法的正确性,<算法导论>给出了严格的证明.CLRS的证明基于一个通用的框架,非常清晰.今天只是随意想想是否有其他证明的方式,结果发现是有的.虽然这种证明方法可能早已有人用过,不算新鲜.不过自己想了一通就把它放到这里纯粹博大家一乐,我尽量写的简洁. 首先叙述下算法: 算法维护两个集合,S(已找到从源点v开始的最短路径的点)和Q(未找到从v开始的最短路径的点). 算法初始时S为空集:Q中,从v到v本身的最短路径的权值为0,…

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这一章主要复习了一些数学知识,像指数.对数.模运算.级数公式:还有2种证明方法,归纳假设法和反证法.所幸以前学过,重新拾捡起来也比较轻松. 简要地复习了递归,提出了编写递归例程的四条基本法则: 基准情形.必须总有些基准情形.它无需递归就能解出. 不断推进.对于那些需要递归求解的情形,每一次递归调用都必须要使求解状况朝接近基准情形的方向推进. 设计法则.假设所有的递归调用都能运行. 合成效益法则.在求解一个问题的同一实例时,切勿在不同的递归调用中做重复性的工作.(譬如斐波那契数列的递归使用 Fib…

近日整理书稿,在整理至Strling公式处时,发现当时数学老师所讲的是形式比较精细的一种: Strling公式:\(n!=\sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{\mathrm{e}}\right)^n\mathrm{e}^{\frac{\theta_n}{12n}},\)其中\(\theta_n\in\left(\dfrac{n}{n+1},1\right)\)是一个与\(n\)有关的变量. 这相当于是利用Euler-Maclaurin求和公式所能得到的最精确形式的Strli…

------------恢复内容开始------------ 据新闻报道数学天才陶哲轩和3个物理学家研究出一个只用特征值就可以计算矩阵特征向量的公式, 我感觉很有趣, 这应该能够应用在很多领域中, 所以仔细研究了一波.研究公式耗费了我大半天, 我把所有的equation都推导了一遍, 也给出了一些我的看法, 现在把它们总结出来, 方便后人参考. 我给出了Cauchy-Binet公式(原文引理1)的更广义形式及其怎么过程, 对该公式取特殊条件即可证明引理2.(该引理就是全文的主要结论). 不过相比…

目录 关于\(LCP\)有如下两个公式: \(LCP~Lemma\) 的证明: \(LCP~Theorem\) 的证明: 关于\(LCP\)有如下两个公式: \(LCP~Lemma:\) 对任意 \(1\le i<j<k\le n\) ,存在 \(LCP(i,k)=min\{LCP(i,j),LCP(j,k)\}\) 成立. \(LCP~Theorem:\) 对任意 \(i<j\),存在 \(LCP(i,j)=^{~~~~~min}_{i+1 \le k \le j}\{LCP(k-1,…

出处:http://blog.csdn.net/gongqian12345/article/details/7445573 今天遇到一个问题:在一个n阶完全图的所有生成树的数量为n的n-2次方,想了好久也没有想出来,还是在网上找到的...简单点说就是:一一对应法:假定T是其中一棵树,树叶中有标号最小者,设为a1,a1的邻接点为b1,从图中消去a1点和边(a1, b1).b1点便成为消去后余下的树T1的顶点.在余下的树T1中寻找标号最小的树叶,设为a2,a2的邻接点为b2,从T1中消去a2及边(a…

参考资料: 1.matrix67 <经典证明:Prüfer编码与Cayley公式> 2.百度百科 3.Forget_forever prufer序列总结 4.维基百科 5.dirge的学习笔记 一.Cayley定理 我们先讲讲Cayley公式/定理?. 凯莱定理,是所有群 G 同构于在 G 上的对称群的子群. 什么鬼?! 其实定理还有另一种表述:过n个有标志顶点的树的数目等于n^(n-2),也即完全图K_n有n^(n-2)棵生成树. 此定理说明用n-1条边将n个一致的顶点连接起来的连通图的个数…

本文出自:http://blog.csdn.net/dr5459 题目地址: http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=4198 题目意思: 给你编号1~n的数,每次从格k个删一个数,会有一个顺序 让你给出最后三个被删除的数 解题思路: 这题很明显就是约瑟夫的变形 假设编号从0~n-1 我们令f[1]=0   表示还剩1个时最后被删掉的…

这几天在公司的项目有个需求就是数学公式的导入,而对于word来说,插入的公式xml格式,需要转换为mathML,借用插件MathJax来进行展示,而对于wps插入的公式来说,获取到的是一个wmf图片,wmf是无法在页面上进行展示的,所以思路就是将wmf转换为png图片. 这个在网上的资料有很多,是先转换为svg,再转换为png,但是我在实际操作过程中发现很多问题,就是公式的一些特殊符号展示不出来,所以在这总结下解决办法,最后有两种解决方案,一个是硬编码,一个是借助第三方来实现. 使用的是poi解…

编者按:6月26日,2014年国际机器学习大会(ICML)在北京国际会议中心完美落幕.作为机器学习领域两大顶尖年会之一,这是 ICML大会30多年来首次来到中国和远东,在国内的机器学习界震动不小.身为本次大会主席的卡耐基梅隆大学计算机系教授邢波(Eric Xing)为此做了诸多努力.作为在美国机器学习领域前沿为数不多的华人学者,许多国内计算机专业学生渴望投身其门下.借着此次大会的举办,我们也有幸和Eric坐下来,面对面的聊一聊他对科研的态度以及对后辈们的建议. 问:从生物学博士到计算机科学博士,…

题意:http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1805 题解: 根据cayley公式,无向图的每一个生成树就对应一个序列(共有n^(n-2)个),具体定义见 http://www.matrix67.com/blog/archives/682 根据定义,这个n-2项中没有出现的点为叶子结点,所以我们先求C(n,m)表示那些点为叶子,再乘上序列的数量 S(n,m) = C(m,0)m^n - C(m,1)(m-1)^…

16 级高代 II 思考题十  设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换, 证明: $\varphi$ 的极小多项式 $m(\lambda)$ 在 $\mathbb{K}$ 上无重因式的充要条件是对 $V$ 的任一 $\varphi$-不变子空间 $U$, 均存在 $\varphi$-不变子空间 $W$, 使得 $V=U\oplus W$. 本题是复旦高代教材复习题七的第 24 题或高代白皮书的例 7.15 从复数域…

latex公式渲染有两种类型,一种是HTML形式展示公式,另一种是图片形式展示公式.如果是HTML形式展示公式,渲染是在前端完成的,一般会比较缓慢.知乎采取的方式是以图片形式展示公式.codecogs是一个latex公式渲染服务,它根据get请求返回一个svg图片.例如: codecogs,这个服务的缺点是比较慢. 知乎的公式渲染:https://www.zhihu.com/equation?tex=\frac{1}{3} 本文介绍ubuntu下搭建类似codecogs的公式渲染服务. 一.安装…

C# 自动计算字符串公式的值(三种方式) 从网络上找到这段源码,重新整理后测试通过. 有三种方式可自动计算字符串公式的值:1. 最简单的方式,由SQL语句计算2. 使用Microsoft.Javascript计算3. 使用后序表达式计算(数据结构) 原文内容: 在编程应用程序过程中,有时需要字符串表达式的值.如字符串:"23+56/(102-100)*((36-24)/(8-6))",计算结果=191. 根据数据结构栈的应用介绍,通过把表达式由中序式转换成后序式,再用栈来进行计算.如上…

说到在论文中编辑公式,有经验的人都会知道要用公式编辑器来编辑,没经验的人也会被安利使用公式编辑器.然而在使用公式编辑器时,又有了两种选择,一种是使用Office自带的公式编辑器,一种是MathType公式编辑器.环顾四周,你会发现用MathType编辑公式的比比皆是,而用Office自带的公式编辑器的人却在逐渐减少?这是为什么呢?两样是公式编辑器,MathType究竟比Office自带的公式编辑器好在哪里呢? 两者都是公式编辑器,能够在Word等这些文档处理器中编辑出复杂的公式.而与Office…

目录 1. 序言 2. 命令介绍 3. 公式输入 3.1 无编号公式 3.2 有编号公式 更新时间:2019.10.02 1. 序言   当我们首次在文档中输入公式的时候,我们首先想到的是word,毕竟这是我们极为常用的三件套之一.事实上,使用word的墨迹公式(磨叽???)写一个简单的数学公式也还是比较方便的.然而,当我们需要大量输入复杂的数学公式时,用word就十分崩溃了.这一天,我终于想起一度被word所支配的恐怖和手输了一晚上数学公式的屈辱???.   为了不让噩梦重现,下面来总结一下l…

条件多项式公式对齐 觉得有用的话,欢迎一起讨论相互学习~Follow Me 对于使用word编写具有多个多项式的公式时,经常会有所偏移 最不优雅的方式就是使用逗号进行分隔和排版使其公式上下对齐 第二种是使用 示例和堆栈加上矩阵 但是很明显,这样不能使其对齐 而我推荐第三种 使用 常用括号 的方式,因为这至少使,逗号标符前后的语句对齐了…

MathJax与LaTex公式简介 (转载) PS: 原文链接写的非常好!!! 博主写这篇文章,一是为了防止原链接失效,二是在cnblogs上测试MathJax; 本文从math.stackexchange.com上名为MathJax basic tutorial and quick reference的问题翻译而来,并有所改动.主要讲述了如何使用MathJax和相关的Latex语法. MathJax简介 MathJax是一款运行在浏览器中的开源数学符号渲染引擎,使用MathJax可以方便的在浏…

目录 基本语法 两种代码引用方式 插入链接并描述 插入图片 有序列表 无序列表 分割线 表格 如何插入公式 如何输入上下标 如何输入括号和分隔符 如何输入分数 如何输入开方 如何输入省略号 如何输入矢量 如何输入积分 如何输入极限运算 如何输入累加.累乘运算 如何输入希腊字母 如何输入其它特殊字符 关系运算符 集合运算符 对数运算符 三角运算符 微积分运算符 逻辑运算符 戴帽符号 连线符号 箭头符号 如何进行字体转换 如何使用大括号和行标 其它公式 定义新的符号 \operatorname 添加…

本文内容概要: \(A=\sum\limits_{i=1}^n\dfrac1{\sqrt i}=1+\dfrac1{\sqrt2}+\cdots+\dfrac1{\sqrt n}\) \(O(\sqrt n)\) ,将给出一种只需使用初中数学知识的放缩 \(B=\sum\limits_{i=1}^n\sqrt i=1+\sqrt2+\cdots+\sqrt n\) \(O(n\sqrt n)\) ,使用积分进行放缩 \(C=\sum\limits_{i=1}^n\dfrac1i=1+\dfrac…

本文系原创,转载请说明出处:from 信安科研人 目录 实验 工具的安装 1.安装AFL++ 2.安装epf 对IEC104协议库进行fuzz 实验准备 使用AFL++中的编译器插桩 开始fuzz 原理 问题提出 工具框架 III-A:目标程序插桩 III-B:数据包建模 III-C:状态转换建模 III-D 遗传种群构造器 III-E 执行引擎 III-F 主循环 Continue Schedule: Generate Input Evaluate Input Update Populatio…

平时有关线性递推的题,很多都可以利用矩阵乘法来解决. 时间复杂度一般是O(K3logn)因此对矩阵的规模限制比较大. 下面介绍一种利用利用Cayley-Hamilton theorem加速矩阵乘法的方法. Cayley-Hamilton theorem: 记矩阵A的特征多项式为f(x). 则有f(A)=0. 证明可以看 维基百科 https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley–Hamilton_theorem#A_direct_algebraic_proof 另外我在高…