题意 用k种颜色对n个珠子构成的环上色,旋转翻转后相同的只算一种,求不等价的着色方案数. 思路 Polya定理 X是对象集合{1, 2, --, n}, 设G是X上的置换群,用M种颜色染N种对象,则不同的染色方案数为: λ(g)表示置换g的轮换个数,且λ(g) = λ1(g) + λn(g) + -- + λn(g),其中λi(g)表示g中长度为i的轮换(循环)个数. 本题是对一个n个珠子的圆珠的颜色,而圆珠的置换群有: Ⅰ翻转:1.当n为奇数时,有n种翻转,每种翻转的轴都是一个顶点和该顶点对边…

两种置换 旋转:有n种,分别是旋转1个2个--n个,旋转i的循环节数位gcd(i,n) 翻转:分奇偶,对于奇数个,只有一个珠子对一条边的中点,循环节数为n/2+1:对于偶数个,有珠子对珠子和边对边,循环节个数为n/2+1个和n/2个 然后用polya定理即可 #include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; long long n,k,ans; long long ksm(long long a,long long b…

旋转能够分为n种置换,相应的循环个数各自是gcd(n,i),个i=0时不动,有n个 翻转分为奇偶讨论,奇数时有n种置换,每种有n/2+1个 偶数时有n种置换,一半是n/2+1个,一半是n/2个 啃论文,PPT,各种书好久才看懂Polya定理,近期做数学题做的严重怀疑自己的智商. #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include<algorithm> #include<ma…

和poj 2409差不多,就是k变成3了,详见 还有不一样的地方是记得特判n==0的情况不然会RE #include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; long long n,ans; long long ksm(long long a,long long b) { long long r=1; while(b) { if(b&1) r=r*a; a=a*a; b>>=1; } return r; }…

参考:刘汝佳<算法竞赛入门经典训练指南> 感觉是非常远古的东西了,几乎从来没有看到过需要用这个的题,还是学一发以防翻车. 置换:排列的一一映射.置换乘法相当于函数复合.满足结合律,不满足交换律. 置换的循环分解:即将置换看成一张有向图,分解成若干循环.循环的数量称为循环节. 以置换集合来描述等价关系.如果存在一个置换将一个方案映射到另一个方案,则这两个方案等价.置换集合应当构成置换群. 不动点:方案s经过置换f不变,则s为f的不动点. Burnside引理:等价类数量=所有置换的不动点数量的平…

参考:https://blog.csdn.net/sr_19930829/article/details/38108871 #include <iostream> #include <string.h> using namespace std; int c,n;//c种颜色,n个珠子 int ans; int gcd(int a,int b) { ?a:gcd(b,a%b); } int power(int p,int n)//快速幂求公式里的k的nc(g)次方 { ; while…

题目描述 用 $c$ 种颜色去染 $r$ 个点的环,如果两个环在旋转或翻转后是相同的,则称这两个环是同构的.求不同构的环的个数. $r·c\le 32$ . 题解 Polya定理 Burnside引理:一个置换群的等价类数目等于这个置换群中所有置换的不动点数目的平均值:Polya定理:设有限群G有 $m$ 个置换,第 $i$ 个置换有 $a_i$ 个循环,现在要将所有的点染成 $c$ 种颜色,那么染色后群G的等价类数目为:$L=\frac{c^{a_1}+c^{a_2}+…+c^{a_m}}m$…

题目链接:http://poj.org/problem?id=2409 题意: 有一串n个珠子穿起来的项链,你有k种颜色来给每一个珠子染色. 问你染色后有多少种不同的项链. 注:“不同”的概念是指无论怎样旋转或翻转项链,都与之前的不同. 题解: 本题用到了置换的相关知识: (1)Burnside引理: 等价类数目 = 所有C(f)的平均值 (C(f)为置换f的不动点数目) (2)置换f可以分解成m(f)个循环的乘积,假设涂k种颜色: C(f) = k^m(f) (3)Polya定理:(综上) 等…

http://poj.org/problem?id=1286 题意:有红.绿.蓝三种颜色的n个珠子.要把它们构成一个项链,问有多少种不同的方法.旋转和翻转后同样的属于同一种方法. polya计数. 搜了一篇论文Pólya原理及其应用看了看polya究竟是什么东东.它主要计算所有互异的组合的个数.对置换群还是似懂略懂.用polya定理解决这个问题的关键是找出置换群的个数及哪些置换群,每种置换的循环节数.像这样的不同颜色的珠子构成项链的问题能够把N个珠子看成正N边形. Polya定理:(1)设G是p…

点我看题目 题意 :给你c种颜色的n个珠子,问你可以组成多少种形式. 思路 :polya定理的应用,与1286差不多一样,代码一改就可以交....POJ 1286题解 #include <stdio.h> #include <iostream> #include <string.h> #include <math.h> #include <algorithm> using namespace std; int gcd(int a,int b) {…