$$\bex n\geq 2, 1\leq p<n\ra \sen{f}_{L^\frac{np}{n-p}(\bbR^n)} \leq C\prod_{k=1}^n \sen{\p_k f}_{L^p(\bbR^n)}^\frac{1}{n}. \eex$$…

证明: 当 $\lm<1$ 时, $\dps{\lim_{R\to+\infty} R^\lm\int_0^{\pi/2} e^{-R\sin\tt}\rd \tt=0}$. 证明: 由 $$\beex \bea 0\leq R^\lm\int_0^{\pi/2} e^{-R\sin\tt}\rd \tt &\leq R^\lm \int_0^{\pi/2} e^{-R \frac{2}{\pi}\tt}\rd \tt\\ &=R^\lm \sex{-\frac{\pi}{2R}e^…

(2014-04-18 from 352558840@qq.com [南开大学 2014 年高等代数考研试题]反对称矩阵的组合) 设 ${\bf A},{\bf B}$ 都是反对称矩阵, 且 ${\bf A}$ 可逆, 则 $|{\bf A}^2-{\bf B}|>0$. 证明: 由 ${\bf A}^T=-{\bf A}$ 知 $$\bex |{\bf A}|=|{\bf A}^T|=(-1)^n |{\bf A}|. \eex$$ 故 $n$ 为偶数 (否则, $|{\bf A}|=0$,…

设 $f(x)=x^2\ln(x+1)$, 求 $f^{(n)}(0)$. 解答: 利用 Leibniz 公式易知 $f'(0)=f''(0)=0$, $f^{(n)}(0)=(-1)^{n-3} n(n-1)\ (n\geq 3)$.…

$$\bex q>3\ra \sen{\n f}_{L^\infty} \leq C(q)\sez{ 1+\sen{\n f}_{BMO} \ln^\frac{1}{2}\sex{e+\sen{\n f}_{W^{1,q}}+\sen{f}_{L^\infty}} }. \eex$$ $$\bex m\geq 3\ra \sen{\n f}_{L^\infty}\leq C\sez{ 1+\sen{\n f}_{BMO} \ln^\frac{1}{2} \sex{1+\sen{\n f}_{H^…

(1) $$\bex \sen{D^k f}_{\dot B^s_{p,q}}\sim \sen{f}_{\dot B^{s+k}_{p,q}}. \eex$$ (2) $$\beex \bea &\quad s>0,\ q\in [1,\infty],\quad p_1,r_1\in [1,\infty],\ \cfrac{1}{p}=\cfrac{1}{p_1}+\cfrac{1}{p_2}=\cfrac{1}{r_1}+\cfrac{1}{r_2}\\ &\ra \sen{fg…

$$\bex \supp \hat u\subset \sed{2^{j-2}\leq |\xi|\leq 2^j} \ra \cfrac{1}{C}2^{jk}\sen{f}_{L^p} \leq \sen{D^k f}_{L^p}\leq C2^{jk} \sen{f}_{L^p}; \eex$$ $$\bex \supp \hat u\subset \sed{|\xi|\leq 2^j} \ra \sen{f}_{L^q}\leq C2^{jn\sex{\frac{1}{p}-\frac{…

For $f\in H^s(\bbR^3)$ with $s>\cfrac{3}{2}$, we have $$\bex \sen{f}_{L^\infty}\leq C\sex{1+\sen{f}_{\dot B^0_{\infty,\infty}}}\ln \sex{1+\sen{f}_{H^s}},\quad s>\cfrac{3}{2}. \eex$$ see [D. Chae, P. Degond, J.G. Liu, Well-posedness for Hall-magnetoh…

设非负严格增加函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上连续, 有积分中值定理, 对于每个 $p>0$ 存在唯一的 $x_p\in (a,b)$, 使 $$\bex f^p(x_p)=\cfrac{1}{b-a}\int_a^b f^p(t)\rd t. \eex$$ 试求 $\dps{\vlm{p}x_p}$. 解答: 由 H\"older 不等式, $$\beex \bea f^p(x_p)&=\cfrac{1}{b-a}\int_a^b f^p(t)\cdot 1\rd t\\…

(2014-04-08 from 1297503521@qq.com) 设方程 $\sin x-x\cos x=0$ 在 $(0,+\infty)$ 中的第 $n$ 个解为 $x_n$. 证明: $$\bex n\pi+\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{1}{n\pi} <x_n<n\pi+\cfrac{\pi}{2}. \eex$$ 证明: 设 $f(x)=\sin x-x\cos x$, 则 $$\bex f'(x)=x\sin x\sedd{\ba{ll} >0,&…