已知$a+b=1$,求$(a^3+1)(b^3+1)$的最大值_____ $(a^3+1)(b^3+1)=a^3+b^3+a^3+b^3+1$ $=(a+b)^3(a^2+b^2-ab)+a^3b^3+1$$\overset{t=ab}{=}t^3-3t+2=(t-1)^2(t+2)$$=\dfrac{1}{2}(1-t)(1-t)(2t+4)\le4$…

(2018全国联赛解答最后一题)在平面直角坐标系$xOy$中,设$AB$是抛物线$y^2=4x$的过点$F(1,0)$的弦,$\Delta{AOB}$的外接圆交抛物线于点$P$(不同于点$A,O,B$),若$PF$平分$\angle{APB}$,求$|PF|$所有可能值. 解答:不妨设$AO:y=kx(k>0)$,联立方程$y=kx,y^2=4x$得$A(\dfrac{4}{k^2},\dfrac{4}{k})$ $AB:y=\dfrac{\frac{4}{k}}{\frac{4}{k^2}-1…

已知数列$ x_n $满足$ 0<x_1<x_2<\pi $,且\begin{equation*} x_{n+1}= \left\{ \begin{aligned}x_n+\sin x_n&,x_n\le x_{n-1}\\x_n+\cos x_n&,x_n> x_{n-1}\end{aligned} \right.\end{equation*}证明:$x_4>x_3$且$0<x_n<\pi$ 证明:由定义$x_3=x_2+\cos x_2$若$…

已知$a^2+b^2+c^2-ab-bc=1$求$c$的最大值______ 注意到$2c^2-3(a^2+b^2+c^2-ab-bc)=-(c-\dfrac{3}{2}b)^2-3(a-\dfrac{b}{2})^2\le0$故$c\le\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ 这里化成齐次后直接用两次判别式易得,参考MT[169] 但是困难的是不能化成齐次的,如MT[189],MT[154]…

求$\sqrt{\dfrac{5}{4}-\sin x}+2\sqrt{\dfrac{9}{4}+\cos x-\sin x}$的最小值. 提示:$\sqrt{\dfrac{5}{4}-\sin x}+2\sqrt{\dfrac{9}{4}+\cos x-\sin x}$ $=\sqrt{(\dfrac{1}{2}\cos x)^2+(1-\dfrac{1}{2}\sin x)^2}+2\sqrt{(\dfrac{1}{2}\cos x+1)^2+(\dfrac{1}{2}\sin x-1)^2…

已知$f(x)=\sum\limits_{k=1}^{2017}\dfrac{\cos kx}{\cos^k x},$则$f(\dfrac{\pi}{2018})=$_____ 分析:设$g(x)=\sum\limits_{k=1}^{2017}\left(\dfrac{\cos kx}{\cos^k x}+i\dfrac{\sin kx}{\cos^k x}\right)$ $=\sum\limits_{k=1}^{2017}\left(\dfrac{\cos x+i\sin x}{\cos…

已知函数$f(x)=x-\dfrac{1}{1+x},g(x)=x^2-2ax+4,$若对任意$x_1\in[0,1]$,存在$x_2\in[1,2]$,使得$f(x_1)=g(x_2)$,则实数$a$的取值范围____ 分析:$f(x)$的值域包含于$g(x)$的值域中,一般做法接下来要讨论对称轴与区间端点,这里提供一种简单的方法:易知$f(x)\in[-1,\dfrac{1}{2}]$, 则存在$x\in[1,2],g(x)\le-1$ 成立.也存在$x\in[1,2],g(x)\ge\df…

注1:S为抛物线焦点 注2:由切线的唯一性,以及切线时可以利用MT[42]评得到三角形全等从而得到切线平分$\angle MQS$得到…

特别的,当$r\rightarrow1^{-}$时有以下两个恒等式: 第二个恒等式有关的自主招生试题参考博文MT[31]傅里叶级数为背景的三角求和 评:利用两种展开形式得到一些恒等式是复数里经常出现的考点.…

求$1,2\cdots,n$两两乘积的平均值____ 解答:$\dfrac{1}{C_n^2}\sum\limits_{1\le i<j\le n}{ij}=\dfrac{1}{n(n-1)}((\sum\limits_{i=1}^n{i})^2-\sum\limits_{i=1}^n{i^2})=\dfrac{(n+1)(3n+2)}{12}$ 注:自然而然会问每三个的乘积的平均值是多少?三个的这种恒等变形不一定有,但是类似的问题可以看下一题MT[177]…