题目 如果\(P>Q\)的话我们先交换一下\(P,Q\). 我们先枚举所有满足第一个条件的数,对于\(x\equiv a_i(mod\ P)\),设\(x=a_i+kP(k\in[0,\lfloor\frac{T-a_i}P\rfloor])\). 然后能够产生贡献的数就是\(x\%Q\in B\)的数. 而且我们知道,当\(Q|kP\)时\(x\%Q\)就会产生循环,也就是说对\(k\)而言,\(M=\frac Q{(P,Q)}\)是循环节. 所以我们可以将计算\(k\in[0,\lfloor…

正解:数论 解题报告: 传送门$QwQ$ ,,,这题还蛮妙的$QwQ$(,,,其实所有数论题对我来说都挺妙的$kk$然后我真的好呆昂我理解了好久$QAQ$ 考虑先建$Q$个点,编号为$[0,Q)$,表示膜$Q$的余数.然后每个点$i$向$(i+P)\ mod Q$连边$QwQ$ 显然这个是会成环的,事实上这个环的长度就$\frac{P\cdot Q}{gcd(P,Q)}$(不明白的可以去康那道很古早的考过好几遍了的跑跑步那题?那题不是证了个结论是说.在膜$Q$意义下每次走$P$,只会有$gcd(…

[LOJ#3096][SNOI2019]数论 题面 LOJ 题解 考虑枚举一个\(A\),然后考虑有多少个合法的\(B\). 首先这个数可以写成\(a_i+kP\)的形式,那么它模\(Q\)的值成环. 所以我们预处理每个环内有多少个合法的\(b\),再把\(b\)按照访问顺序记录一下,那么对于每一个\(a\)就可以直接算答案了. #include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<vec…

[LG5330][SNOI2019]数论 题面 洛谷 题目大意: 给定集合\(\mathbb {A,B}\) 问有多少个小于\(T\)的非负整数\(x\)满足:\(x\)除以\(P\)的余数属于\(\mathbb A\)且\(x\)除以\(Q\)的余数属于\(\mathbb B\). 其中\(1\leq |\mathbb A|,|\mathbb B|\leq 10^6,1\leq P,Q\leq 10^6,1\leq T\leq 10^{18}\). 题面 考虑枚举一个\(A\),然后考虑有多少…

题目 考虑对于每一个\(a_i\)计算有多少个\(0<x\leq T-1\)满足\(x\equiv a_i(mod\ P)\)且\(x\ mod\ Q \in B\) 显然\(x=a_i+k\times P\),先考虑一下这个\(k\)最大能取到多少,显然有\(a_i+k\times P\leq T-1\),所以\(k\)最大取到\(\left \lfloor \frac{T-1-a_i}{P} \right \rfloor\) 我们这样加下去,肯定会使得\(x\)在\(mod\ Q\)意义下循…

传送门 打麻将+1(雾 有顺子这种东西...注意到以某个位置为开头的顺子数量最多为2,那么有个想法就是枚举以每个位置为开头的顺子个数,然后每个位置的刻子的取法个数为\(\lceil\frac{\text{剩下的牌数}}{3}\rceil\),乘起来,然后每种情况的和就是答案 所以设\(f_{i,j,k}\)表示放到\(i\)牌,有\(j\)个\(i-1,i,i+1\)以及\(k\)个\(i,i+1,i+2\)的方案.转移枚举下一位放多少顺子(注意最后两个位置只能放0个),然后乘上刻子的取法个数进…

传送门 有匹配次数限制,求最小代价,这显然是个费用流的模型.每个点暴力和前面的点连匹配边,边数是\(n^2\)的. 然后发现可以转化成一个set,每次加入一个点,然后入点对set里面的出点连边.这个set可以用主席树实现,然后就主席树优化连边,点数边数都是\(nlogn\)的,然后就能过了 注意这里连边要把一个点入点拆成两个\(a_i,-a_i\),出点同理,然后假设\(a_i\)在set的第\(p\)位,\(a_i\)在负权值主席树上连区间\([1,p-1]\),\(-a_i\)在正权值主席树…

传送门 显然要写一个排序,那只要考虑cmp函数怎么写就行了.第\(i\)个字符串和第 \(j\)个,首先前\(min(i,j)-1\)个字符是相同的,然后就是要比较后缀\(min(i,j)\)和\(min(i,j)+1\),先求lcp(要对\(max(i,j)-min(i,j)\)取\(min\)),如果两个后缀往后跳lcp的位置字符不一样就可以得到结果了. 然后可以用SA求lcp 然后我T了,但是可以发现所有lcp都是相邻两个后缀的,所以这个可以\(O(n)\)递推 #include<algo…

Loj #3096. 「SNOI2019」数论 题目描述 给出正整数 \(P, Q, T\),大小为 \(n\) 的整数集 \(A\) 和大小为 \(m\) 的整数集 \(B\),请你求出: \[ \sum_{i=0}^{T-1} [(i\in A\pmod P)\land(i\in B\pmod Q)] \] 换言之,就是问有多少个小于 \(T\) 的非负整数 \(x\) 满足:\(x\) 除以 \(P\) 的余数属于 \(A\) 且 \(x\) 除以 \(Q\) 的余数属于 \(B\). 输…

洛谷 1865 数论 线性素数筛法 最基本的线性素数筛法,当做复习欧拉筛法了,没有尝试过使用更暴力的筛法... WA了一次,手抖没打\n 传送门 (https://www.luogu.org/problem/show?pid=1865) #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> const int maxn = 1000000 + 500; int prime[maxn]; int isp[max…

LOJ#3096. 「SNOI2019」数论 如果\(P > Q\)我们把\(P\)和\(Q\)换一下,现在默认\(P < Q\) 这个时候每个合法的\(a_i\)都可以直接落到\(Q\)中,因为\(a_{i} \equiv a_{i} \pmod Q\)这样避免了麻烦 然后呢我们发现每次把\((a_{i} + P) \% Q\)会走成一个圈,我们就要求从\(a_{i}\)开始数\(\lfloor \frac{T - 1- a_{i}}{P} \rfloor + 1\)个圈里\(b_{i}\)…

题目链接 真TM是神奇数论公式. 注明:如无特殊说明我们的除法都是整数除法,向下取整的那种. 首先有个定理叫$d(ij)=\sum\limits_{i|n}{}\sum\limits_{j|m}{}(gcd(i,j)==1)$ 证明……我不会证qwq,可以看这个链接 所以原式$\sum\limits_{i=1}{n}\sum\limits_{j=1}{m}d(ij)$ =$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\sum\limits_{k=1}^{i…

题目链接 数论果然是硬伤qwq 还是智商上的硬伤 我们来讲两个道理 No.1 求1~i!中与i!互质的数的个数 实际上就是求i!的欧拉函数 有如下递推式: f[1]=1 if(i为合数) f[i]=f[i-1]*i; if(i为素数) f[i]=f[i-1]*(i-1); 证明如下 首先我们有个神奇引理.叫做:如果n=p1a1*p2a2*………………*pkak是n的素数幂乘积表达式,那么有 $phi[n]=n*\frac{p1-1}{p1}*\frac{p2-1}{p2}*……*\frac{pk…

手动博客搬家: 本文发表于20171216 13:34:20, 原地址https://blog.csdn.net/suncongbo/article/details/78819470 URL: (Luogu)https://www.luogu.org/problem/show?pid=3455 (BZOJ)http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1101 题目大意: 有t次询问(\(t\le5e4\)), 每次给定a,b,d, 询问有多少对…

[luogu]P1463 [SDOI2005]反素数ant ——!x^n+y^n=z^n 题目描述 对于任何正整数x,其约数的个数记作g(x).例如g(1)=1.g(6)=4. 如果某个正整数x满足:g(x)>g(i) 0<i<x,则称x为反质数.例如,整数1,2,4,6等都是反质数. 现在给定一个数N,你能求出不超过N的最大的反质数么? 输入输出格式 输入格式: 一个数N(1<=N<=2,000,000,000). 输出格式: 不超过N的最大的反质数. 输入输出样例 输入样…

传送门 解题思路 数论分块,首先将 \(k\%a\) 变成 \(k-a*\left\lfloor\dfrac{k}{a}\right\rfloor\)形式,那么\(\sum\limits_{i=1}^nk\%i=n*k-\sum\limits_{i=1}^ni*\left\lfloor\dfrac{k}{i}\right\rfloor\),这样的话因为\(\left\lfloor\dfrac{k}{i}\right\rfloor\)的取值只有\(O(\sqrt n)\)级别,所以可以每次找到相等…

LINK:回首过去 考试的时候没推出来 原因:状态真的很差 以及 数论方面的 我甚至连除数分块都给忘了. 手玩几个数据 可以发现 \(\frac{x}{y}\)满足题目中的条件当且仅当 这个是一个既约分数 且 y中只含2,5的因子. 枚举y考虑贡献 先除掉本身的2,5的倍数后变成w1 之后考虑x 1~n中x只要是w1的倍数那么都是不合法的. 把这些数给去掉即可.这样就得到了一个O(n)的做法. 观察数据范围 容易想到 考察的是一个根号的算法. 此时考虑枚举w1 那么可以发现w1要满足 不是2,5…

题面 传送门: 洛咕 BZOJ Solution 写到脑壳疼,我好菜啊 我们来颓柿子吧 \(F_j=\sum_{i<j}\frac{q_i*q_j}{(i-j)^2}-\sum_{i>j}\frac{q_i*q_j}{(i-j)^2}\) \(q_j\)与\(i\)没有半毛钱关系,提到外面去 \(F_j=q_j*\sum_{i<j}\frac{q_i}{(i-j)^2}-q_j*\sum_{i>j}\frac{q_i}{(i-j)^2}\) 左右同时除以\(q_j\) \(E_j=…

一句话题意:G 的 sigma d|n  C(n d) 次幂  mod 999911659 (我好辣鸡呀还是不会mathjax) 分析: 1.利用欧拉定理简化模运算 ,将上方幂设为x,则x=原式mod 999911658. 2.发现幂的前半部分太大无法直接算,又因为999911658 可分解为 2 3 4679 35617 四个质数 3.利用中国剩余定理可分别计算 x=a1(mod m1=2) ...最后利用它统计出x 4.快速幂将答案计算 #include<bits/stdc++.h> #d…

题解 乱搞就能过了. 首先我们考虑如何快速判断C(i, j ) | k 是否成立. 由于$k$非常小, 所以可以对$k$分解质因数, 接着预处理出前N个数的阶乘的因数中 $p_i$ 的个数, 然后就可以$O(1)$判断C(i,j)| k 然后用mk[i][j] 记录 C(i, j) | k , 并将它转化为二位前缀和, 每次查询只需要输出mk[ n ][ m ]即可 预处理时间复杂度:$O(NlnN + NM)$ 每次查询$O(1)$ 代码 #include<cstring> #include…

ywy神犇太巨辣!!一下就明白了!! 题意:求$lcm(a_1,a_2,...,a_k)$的种类,其中$\Sigma\space a_i <=n$,$a_i$相当于环长 此处的$DP$,相当于是在求$lcm(a_1,a_2,...,a_k)$按算术基本定理分解的式子的种类. 感性理解一下,一堆>=2的数,加起来一定比乘起来小,但是我们又要保证他们互质(否则就亏了,不如同时去掉gcd),所以就每个数就是一个质数的幂. 所以这一堆数大致就是形如$p_i^{k_i}$这种样子的 所以可以背包转移:把…

刚学的欧拉反演(在最后)就用上了,挺好$qwq$ 题意:求$\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}(2*gcd(i,j)-1)$ 原式 $=2*\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}gcd(i,j)\space-m*n$ $=2*\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^M\sum_{d|gcd(i,j)}\varphi(d)\space-m*n$ $=2*\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{N}{d}\rfloor}\sum_{j=1…

题目链接 考虑f(i)=i%1+i%2+i%3+.....+i%n f(i+1)=(i+1)%1+(i+1)%2+......+(i+1)%n 其中不是i+1的因数的部分在f(i+1)的地方都加了1.  例如3%3=0,4%3=1:或5%4=1,6%4=2.. 而是i+1的因数的部分……置零了.如2%3=2,3%3=0 . 所以我们在根据f(i)计算f(i+1)时,先把每一位都+1(其实就是总体+n),然后减去所有i+1的因子. 因子和应该用欧拉筛求,因为它是积性函数,然而我不会. 有没有大佬来…

题目传送门 题目描述 对于任何正整数x,其约数的个数记作g(x).例如g(1)=1.g(6)=4. 如果某个正整数x满足:g(x)>g(i) 0<i<x,则称x为反质数.例如,整数1,2,4,6等都是反质数. 现在给定一个数N,你能求出不超过N的最大的反质数么?(N<=2000000000) $Sol$ 首先我们需要知道一个数约数的个数.这个是算术基本定理的推论,这里就不再赘述了,这儿稍微提了一句. 之后因为N在2e9内,所以它至多有10个质因子. 再次,我们要满足质因子从小到大的…

题目传送门 发现这题真的坑超多啊...调了一晚上终于过了...我好菜啊qwq. 题意说的比较明白,让你求满足(si^k)%(m1^m2)==0的最小k值.然后看数据范围我们知道,我们肯定不能暴力的判断,需要应用到算术基本定理的内容. 我的思路:把m1分解质因数,拆成算术基本定理的形式,再把每个质因数的个数乘上m2. 之后对于每个细胞,我们也将他分解质因数.显然,m1的质因数在si中必须出现,否则消不掉也就不能整除.之后我们找哪个质因数被削掉需要分裂的次数最多,这个次数作为这个细胞的次数.(这里思…

题面 传送门:洛咕 Solution 这题我写得脑壳疼,我好菜啊 好吧,我们来说正题. 这题.....emmmmmmm 显然KMP类的字符串神仙算法在这里没法用了. 那咋搞啊(或者说这题和数学有半毛钱关系啊) 我们考虑把两个字符相同强行变为一个数学关系,怎么搞呢? 考虑这题是带通配符的,我们可以这样设: \(C(x,y)=(A[x]-B[y])^2*A[x]*B[y]\) 因此,我们可以看出两个字符一样当且仅当\(C(x,y)=0\) 因此,我们再设一个函数\(P(x)\)表示\(B\)串以第\…

[数论]卢卡斯定理模板 洛谷P3807 >>>>题目 [题目] https://www.luogu.org/problemnew/show/P3807 [输入格式] 第一行一个整数T(T\le 10T≤10),表示数据组数 第二行开始共T行,每行三个数n m p,意义如上 [输出格式] 共T行,每行一个整数表示答案. [输入样例] 21 2 52 1 5 [输出样例] 33 >>>>分析 emmmm模板题还是不用分析了吧 卢卡斯定理解决的就是组合数C(n,m…

题目传送门 余数求和 题目背景 数学题,无背景 题目描述 给出正整数n和k,计算G(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值,其中k mod i表示k除以i的余数.例如G(10, 5)=5 mod 1 + 5 mod 2 + 5 mod 3 + 5 mod 4 + 5 mod 5 …… + 5 mod 10=0+1+2+1+0+5+5+5+5+5=29 输入输出格式 输入格式: 两个整数n k 输出格式: 答案 输入输出样例 输入样例#1…

数论入门2 另一种类型的数论... GCD,LCM 定义\(gcd(a,b)\)为a和b的最大公约数,\(lcm(a,b)\)为a和b的最小公倍数,则有: 将a和b分解质因数为\(a=p1^{a1}p2^{a2}p3^{a3}...pn^{an},b=p1^{b1}p2^{b2}p3^{b3}...pn^{bn}\),那么\(gcd(a,b)=\prod_{i=1}^{n}pi^{min(ai,bi)},lcm(a,b)=\prod_{i=1}^{n}pi^{max(ai,bi)}\)(0和任何…

题目传送门 约数研究 题目描述 科学家们在Samuel星球上的探险得到了丰富的能源储备,这使得空间站中大型计算机“Samuel II”的长时间运算成为了可能.由于在去年一年的辛苦工作取得了不错的成绩,小联被允许用“Samuel II”进行数学研究. 小联最近在研究和约数有关的问题,他统计每个正数N的约数的个数,并以f(N)来表示.例如12的约数有1.2.3.4.6.12.因此f(12)=6.下表给出了一些f(N)的取值: f(n)表示n的约数个数,现在给出n,要求求出f(1)到f(n)的总和.…