题意:给定一个 n ,让你求有多少对整数 (a, b) 1 <= b <= a 且 gcd(a, b) = a ^ b. 析:设 c = a ^ b 那么 c 就是 a 的约数,那么根据异或的性质 b = a ^ c,那么我们就可以枚举 a 和 c和素数筛选一样,加上gcd, n*logn*logn. 多写几个你会发现 c = a - b,证明如下: 首先 a - b <= a ^ b,且 a - b >= c,下面等于等号,用反证法,假设存在 a - b > c,那么 c…

题意:输入整数n(1<=n<=30000000),有多少对整数(a, b)满足:1<=b<=a<=n,且gcd(a,b)=a XOR b. 分析:因为c是a的约数,所以枚举c,a = k*c,通过a-c求b,并通过a^b=c来验证. #pragma comment(linker, "/STACK:102400000, 102400000") #include<cstdio> #include<cstring> #include<…

UVA.12716 GCD XOR (暴力枚举 数论GCD) 题意分析 题意比较简单,求[1,n]范围内的整数队a,b(a<=b)的个数,使得 gcd(a,b) = a XOR b. 前置技能 XOR的性质 GCD 由于题目只给出一个n,我们要求对数,能做的也始终暴力枚举a,b,这样就有n^2的复杂度,由于n很大,根本过不了. 于是我们就想用到其中一些性质,如XOR 与GCD,不妨假设 a xor b = c,并且根据题意还知道, gcd(a,b) = c,也就说明c一定是a的因子,所以在枚举的…

 题意:给你一个N,让你求有多少组A,B,  满足1<= B <= A <= N, 且 gcd(A,B) = A XOR B. 思路:首先我们能够得出两个结论: A-B >= A%B >= gcd(A, B) A xor B >= A-B 所以说A xor B >= A-B >= gcd(A, B),然后就能够推出 A xor B = A - B = gcd(A, B) =>    A xor B = A - B  &&  A -…

/** 题目:GCD XOR UVA 12716 链接:https://vjudge.net/problem/UVA-12716 题意:给定一个n,找多少对(a,b)满足1<=b<=a<=n,gcd(a,b)=a^b: 思路: 打表找规律发现:满足条件的结果一定满足,gcd(a,b) = a-b; 即:先确定每一个a以及它的约数c可以获得,b = a-c; 如果a^b=c 那么满足. 时间复杂度nlg(n) */ #include <iostream> #include &l…

题意:输入整数n(1<=n<=30000000),有多少对整数(a,b)满足1<=b<=a<=n,且gcd(a,b)=a xor b. 题解:设c=gcd(a,b),因为a-b<=a xor b,且a-b>=c,假设存在c是的a-b>c,则c<a-b<=a xor b,与c= a xor b矛盾.所以c =a-b.所以枚举a和c,计算b=a-c,则gcd(a,b)=gcd(a,a-c)=c,因此只需要验证是否有c= a xor b即可. a-b&…

链接: https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=4454 题意: 输入整数n(1≤n≤30000000),有多少对整数(a,b)满足:1≤b≤a≤n,且gcd(a,b)=a xor b.例如n=7时,有4对:(3,2), (5,4), (6,4), (7,6). 分析: 若a xor b = c,则a xor c = b,所以可以枚…

题意:求出[1,n]中满足gcd(a,b)=a xor b,且1<=a<=b<=n的对数 题解:首先a xor b = c,则a xor c = b,而b是a的约数,则可以使用素数筛选法的方法使用O(nlogn)枚举a与c      接着gcd需要O(logn)的时间,时间为O(n(logn)^2) 但是我们还可以继续优化掉一个log,我们打表找规律可以看出c=a-b 证明:因为a - b(相同为0,不同为1或者-1) <=a xor b(相同为0,不同为1),又因为gcd(a,b…

GCD and LCM HDU 4497 数论 题意 给你三个数x,y,z的最大公约数G和最小公倍数L,问你三个数字一共有几种可能.注意123和321算两种情况. 解题思路 L代表LCM,G代表GCD. \[ x=(p_1^{i_1})*(p_2^{i_2})*(p_3^{i_3})\dots \] \[ y=(p_1^{j_1})*(p_2^{j_2})*(p_3^{j_3})\dots \] \[ z=(p_1^{k_1})*(p_2^{k_2})*(p_3^{k_3})\dots \] \…

分析:对于区间[i,j],枚举j. 固定j以后,剩下的要比较M_gcd(k,j) = gcd(ak,...,aj)*(j-k+1)的大小, i≤k≤j. 此时M_gcd(k,j)可以看成一个二元组(g, k). 根据gcd的性质gcd(a1,a2,...,an) = gcd(a1,gcd(a2,..,an)),而且gcd(a,b) | b. 如果gcd(ak,...,aj) != gcd(ak+1,...,aj),那么gcd(ak,...,aj) ≤ 2*gcd(ak+1,...,aj). 原本…

求满足GCD(a,b) = a XOR b; 其中1<=b <=a<=n. 首先做这道题需要知道几个定理: 异或:a XOR b = c 那么 a XOR c = b; 那么我们令GCD(a,b)= c; 这样 a 是  c  倍数.我们可以通过遍历c , 然后通过筛法,把c的倍数晒出当作a.求b如何求呢? 书上提供一种方法是利用a XOR c=b 用 gcd(a,b)=c 验证.但是这个方法是超时的,gcd是logn 级别的 总的时间复杂度,n*(logn)^2.这是我们不能接受的.…

设gcd(a, b) = a xor b = c 那么我们可以证明c＝a-b 那么同时c又是a的因子(c是a与b的最大公因数) 所以我们可以枚举c,然后枚举c的倍数,也就是a 有了a和c可以算出b为a-c 然后最后验算是否a xor b = c就ok了. 这里的枚举方式非常的巧妙,是反过来枚举c 来推a,如果枚举a的因子c的话就会很耗时间了. #include<cstdio> #include<cmath> #define REP(i, a, b) for(int i = (a);…

Xor F.A.Qs Home Discuss ProblemSet Status Ranklist Contest 入门OJ ModifyUser  autoint Logout 捐赠本站 Problem 2115. -- [Wc2011] Xor 2115: [Wc2011] Xor Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 259 MBSubmit: 5811  Solved: 2474[Submit][Status][Discuss] Description I…

GCD Time Limit: 10000/5000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others)Total Submission(s): 2742    Accepted Submission(s): 980 Problem Description Give you a sequence of N(N≤100,000) integers : a1,...,an(0<ai≤1000,000,000). There ar…

题意: 问整数n以内,有多少对整数a.b满足(1≤b≤a)且gcd(a, b) = xor(a, b) 分析: gcd和xor看起来风马牛不相及的运算,居然有一个比较"神奇"的结论: 设gcd(a, b) = xor(a, b) = c, 则 c = a - b 这里 有比较严格的证明. 有了这个结论后,我们可以枚举约数c,然后枚举c的倍数a,再根据c = a - b计算b,检验b是否满足gcd(a, b) = xor(a, b) #include <cstdio> ; ]…

https://vjudge.net/problem/UVA-12716 求有多少对整数(a,b)满足:1<=b<=a<=n,且gcd(a,b)=a XOR b 结论:若gcd(a,b)= a XOR b = c,则c=a-b 证明: 1.任意两个数a,b,若a>=b,则 a-b <= a XOR b 2.若 c为a.b的最大公约数,且a>=b,则 a-b >= c 假设存在 c 使得 a-b > c,则 c<a-b<=a XOR b,即 c&l…

参考:http://www.cnblogs.com/naturepengchen/articles/3952145.html #include<stdio.h> #include<string.h> #include<time.h> ; int ans[N]; int gcd(int a,int b){ if(!b) return a; return gcd(b,a%b); } void init(){ ;c<=N/;c++){ for(int a=c+c;a&l…

题意: 问 gcd(i,j) = i ^ j  的对数(j <=i <= N ) N的范围为30000000,有10000组例子 思路:GCD(a,b) = a^b = c GCD(a/c,b/c) = 1 (1) (a-b) <= c (2) (a/c-b/c) <=1 (3) (1)(3) => a/c-b/c = 1=> a-b=c #include <iostream> #include <cstdio> #include <cst…

规律题,打表找规律即可发现 a xor b >= a - b >= gcd(a, b), 如果 a xor b = gcd(a, b) = c 则 c = a - b 枚举倍数c和a判断b即可 但是我主要想讲的是这道题要注意的,就是在跑循环时,一定要注意数组是否越界,比如 int a[maxn]; scanf("%d",&T); for(int i=1;i<=maxn;++i){ a[i]=i; } 这样写会造成你读入的T被覆盖,导致输出超限,因为数组a[ma…

紫书给的分析缺少一些证明性的东西,将我自己的OneNote笔记贴在这里.…

题意: 给出一个n行m列的点阵,求共有多少条非水平非竖直线至少经过其中两点. 分析: 首先说紫书上的思路,编程较简单且容易理解.由于对称性,所以只统计“\”这种线型的,最后乘2即是答案. 枚举斜线包围盒的大小,如果盒子的长宽ab互质,则是可以的.这种盒子共有(m-a)(n-b)个,但要减去其中重复的.如果有一个长宽为2a和2b的大盒子,则计数右下角的小盒子的同时,左上角的小盒子会重复,所以要减去重复的盒子的个数c = max(0, m-2a) * max(0, n-2b) 最后gcd(a, b)…

这题没什么好说的,但是输入较特别,为此还WA了一次... 题目链接: https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=2927 题意: 输入m个数,求两两一组的最大GCD. 分析: 对stringstream不太熟悉,直接模拟字符串的输入,但是wa了. 我觉得wa的原因是,如果一行末尾有空格的话,就不能正确输入了...还求指正... int…

题意: 求sum{gcd(i, j) | 1 ≤ i < j ≤ n} 分析: 有这样一个很有用的结论:gcd(x, n) = i的充要条件是gcd(x/i, n/i) = 1,因此满足条件的x有phi(n/i)个,其中Phi为欧拉函数. 所以枚举i和i的倍数n,累加i * phi(n/i)即可. #include <cstdio> typedef long long LL; ; ]; LL f[maxn + ]; void phi_table() { phi[] = ; ; i <…

题意: 给出一个数列,求一个连续的子序列,使得MGCD(i, j) =  该子序列的长度(j-i+1) × 子序列的gcd 最大,并输出这个最大值. 分析: 感觉可能要用优先队列,但貌似也用不上. 但类似地,从左往右枚举右端点,不难发现随着序列长度的增大,其子序列的最大公约数是非递增的.一般情况下,是呈阶梯状递减的.于是我们只要保留相同的gcd中,左端点最小的那个序列(因为相同的gcd里面它的长度最大,MGCD就是最大的). 右端点更新的时候,同时也要更新每个子序列的gcd,然后把重复的gcd的…

题目链接:http://codeforces.com/contest/798/problem/C 题意:给出一串数字,问如果这串数字的gcd大于1,如果不是那么有这样的操作,删除ai, ai + 1 并且把 ai - a(i + 1), ai + a(i + 1) 放入原来的位置.问是否能够在几步操作后使得串的gcd大于1然后要求最小的操作数. 题解:偶数=偶数*偶数 or 奇数*偶数,奇数=奇数*奇数. 如果整个字符串全是偶数的话肯定gcd是大于1的.介于题目要求的操作,奇数-(or)+奇数=…

题目大意:对于一个序列,定义它的价值是它的所有前缀的 $\gcd$ 中互不相同的数的个数.给定整数 $n$,问在 $1$ 到 $n$ 的排列中,有多少个排列的价值达到最大值.答案对 $10^9+7$ 取模. $2\le n\le 10^6$. 一道 Div. 2 的难度 2500 的题,真的不是吹的…… 首先考虑排列的第一个数 .假如分解质因子后为 $\prod p_i^{c_i}$,那么此时排列价值的最大值为 $\sum c_i$. 为什么?因为如果 $\gcd$ 变了,那么一定变成原来 $\…

wls 有一个整数 n,他想将 1 − n 这 n 个数字分成两组,每一组至少有一个数,并且使得两组数字的和的最大公约数最大,请输出最大的最大公约数. Input 输入一行一个整数 n. 2 ≤ n ≤ 1, 000, 000, 000 Output 输出一行一个整数表示答案. Sample Input 6 Sample Output 7 思路: 我们求1到n的sum和为sum, 分成的两组的sum和分别是sum1和sum2, 那么根据题意我们知道 sum1+sum2=sum 所求的答案就是 g…

UVA 11768 - Lattice Point or Not option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&category=516&problem=2868&mosmsg=Submission+received+with+ID+13823461" target="_blank" style="">题目链接 题意:给定两个点,构成一条线段.这些点都是十分…

You are given positive integer number n. You should create such strictly increasingsequence of k positive numbers a1, a2, ..., ak, that their sum is equal to n and greatest common divisor is maximal. Greatest common divisor of sequence is maximum of…

定义:dp[i][j] 表示 在前i个数中,使整个gcd值为j时最少取的数个数. 则有方程: gg = gcd(a[i],j) gg == j : 添加这个数gcd不变,不添加,  dp[i][j] = dp[i-1][j] gg != j: t添加,更新答案,                dp[i][gg] = dp[i-1][j] + 1 最后答案为dp[n][g] (g为原始的所有数的gcd) 时间复杂度: O(n*max(a[i])) 代码: #include <iostream>…