题意:给一个矩阵a,a[i][j] = C[i][j](i>=j) or 0(i < j),求(x1,y1),(x2,y2)这个子矩阵里面的所有数的和. 思路:首先问题可以转化为求(0,0),(n,m)这个子矩阵的所有数之和.画个图容易得到一个做法,对于n<=m,答案就是2^0+2^1+...+2^m=2^(m+1)-1,对于n>m,答案由两部分构成,一部分是2^(m+1)-1,另一部分是sigma i:m+1->n f[i][m],f[i][m]表示第i行前m列的数之和,f…

组合数取模就是求的值,根据,和的取值范围不同,采取的方法也不一样. 下面,我们来看常见的两种取值情况(m.n在64位整数型范围内) (1)  , 此时较简单,在O(n2)可承受的情况下组合数的计算可以直接用杨辉三角递推,边做加法边取模. (2) ,   ,并且是素数 本文针对该取值范围较大又不太大的情况(2)进行讨论. 这个问题可以使用Lucas定理,定理描述: 其中 这样将组合数的求解分解为小问题的乘积,下面考虑计算C(ni, mi) %p. 已知C(n, m) mod p = n!/(m!(…

DP? Problem Description Figure 1 shows the Yang Hui Triangle. We number the row from top to bottom 0,1,2,…and the column from left to right 0,1,2,….If using C(n,k) represents the number of row n, column k. The Yang Hui Triangle has a regular pattern…

题集链接: https://cn.vjudge.net/contest/231988 解题之前请先了解组合数取模和Lucas定理 A : FZU-2020  输出组合数C(n, m) mod p (1 <= m <= n <= 10^9, m <= 10^4, m < p < 10^9, p是素数) 由于p较大,不可以打表,直接Lucas求解 #include<iostream> using namespace std; typedef long long…

对于C(n, m) mod p.这里的n,m,p(p为素数)都很大的情况.就不能再用C(n, m) = C(n - 1,m) + C(n - 1, m - 1)的公式递推了. 这里用到Lusac定理 For non-negative integers m and n and a prime p, the following congruence relation holds: where and are the base p expansions of m and n respectively.…

组合数学推推推最后,推得要求C(n+m,m)%p 其中n,m小于10^9,p小于1^5 用Lucas定理求(Lucas定理求nm较大时的组合数) 因为p数据较小可以直接阶乘打表求逆元 求逆元时,由费马小定理知道p为素数时,a^p-1=1modp可以写成a*a^p-2=1modp 所以a的逆元就是a^p-2, 可以求组合数C(n,m)%p中除法取模,将其转化为乘法取模 即    n!/(m!*(n-m)!)=n!*(m!*(n-m)!)^p-2 求C(n+m,m). n,m<=1000,二维数组递…

http://acm.hit.edu.cn/hoj/problem/view?id=3152 Dice My Tags (Edit) Source : Time limit : sec Memory limit : M Submitted : , Accepted : You have a dice with M faces, each face contains a distinct number. Your task is to calculate the expected number o…

You are given two integers nn and mm . Calculate the number of pairs of arrays (a,b)(a,b) such that: the length of both arrays is equal to mm ; each element of each array is an integer between 11 and nn (inclusive); ai≤biai≤bi for any index ii from 1…

题意:给出一大数K(4 <= K <= 10^100)与一整数L(2 <= L <= 106),K为两个素数的乘积(The cryptographic keys are created from the product of two primes) 问构成K的最小素数是否绝对小于L,若是,则输出BAD p,p为最小素数,否则输出GOOD; 分析:从小到大枚举1~10^6内的素数p,while(p<L)时,判断K是否能被p整除,若能则证明构成K的最小素数绝对小于L,反之则大于L…

Time Limit: 2000MS   Memory Limit: 65536K Total Submissions: 11435   Accepted: 3040 Description The young and very promising cryptographer Odd Even has implemented the security module of a large system with thousands of users, which is now in use in…

题面 传送门:https://www.luogu.org/problemnew/show/P2261 Solution 这题显然有一个O(n)的直接计算法,60分到手. 接下来我们就可以拿出草稿纸推一推式子了 首先,取模运算在这里很不和谐,我们得转换一下. 对于任意取模计算,我们都有: 所以,我们可以做以下推算 经过一些手算,我们发现k/i(向下取整)是由一段一段的区间组成的,如下图 显然,每段区间的右端点可以通过二分的方法来找 对于每一段区间,我们可以把k/i提出来,括号里面就变成了(i+(i…

数论神题了吧算是 1951: [Sdoi2010]古代猪文 Time Limit: 1 Sec Memory Limit: 64 MB Submit: 1573 Solved: 650 [Submit][Status][Discuss] Description "在那山的那边海的那边有一群小肥猪.他们活泼又聪明,他们调皮又灵敏.他们自由自在生活在那绿色的大草坪,他们善良勇敢相互都关心--" --选自猪王国民歌 很久很久以前,在山的那边海的那边的某片风水宝地曾经存在过一个猪王国.猪王国地…

题目链接: D - It's a Mod, Mod, Mod, Mod World Kattis - itsamodmodmodmodworld 具体的每个参数的代表什么直接看题面就好了. AC代码: #include<bits/stdc++.h> using namespace std; # define ll long long # define inf 0x3f3f3f3f ; ll cal(ll a, ll b,ll c,ll n){ ); )return (b/c); ll tmp=…

利用Lucas定理解决大组合数取模 Lucas定理是用来求 C(n,m) mod p,p为素数的值.(注意:p一定是素数) Lucas定理用来解决大组合数求模是很有用的 Lucas定理最大的数据处理能力是p在10^5左右 表达式:C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p 递归方程:(C(n%p, m%p)*Lucas(n/p, m/p))%p.(递归出口为m==0,return 1) 然后来一道裸题 BZOJ2982 #include<cstdio> using nam…

Lucas定理用于解决较大组合数的取模问题,下面的理论整理源自冯志刚的<初等数论>,其与百度百科上呈现的Lucas定理形式上不同,但是容易看到二者的转化形式. 首先我们来整理一下冯志刚的<初等数论>中关于Lucas定理的证明:…

引入: 组合数C(m,n)表示在m个不同的元素中取出n个元素(不要求有序),产生的方案数.定义式:C(m,n)=m!/(n!*(m-n)!)(并不会使用LaTex QAQ). 根据题目中对组合数的需要,有不同的计算方法. (1)在模k的意义下求出C(i,j)(1≤j≤i≤n)共n2 (数量级)个组合数: 运用一个数学上的组合恒等式(OI中称之为杨辉三角):C(m,n)=C(m-1,n-1)+C(m-1,n). 证明: 1.直接将组合数化为定义式暴力通分再合并.过程略. 2.运用组合数的含义:设m…

LL MyPow(LL a, LL b) { LL ret = ; while (b) { ) ret = ret * a % MOD; a = a * a % MOD; b >>= ; } return ret; } LL C(int n, int m) { ) ; LL a = fact[n], b = fact[n - m] * fact[m] % MOD; ) % MOD;//除以一个数,等于乘以这个数的乘法逆元, 然后是在MOD的情况下 } 上面的代码可以计算组合数取模, 能解决的规…

J. Ceizenpok’s formula time limit per test 2 seconds memory limit per test 256 megabytes input standard input output standard output Dr. Ceizenp'ok from planet i1c5l became famous across the whole Universe thanks to his recent discovery — the Ceizenp…

typedef long long ll; /********************************** 大组合数取模之lucas定理模板,1<=n<=m<=1e9,1<p<=1e6,p必须为素数 输入:C(n,m)%p 调用lucas(n,m,p) 复杂度:min(m,p)*log(m) ***********************************/ //ax + by = gcd(a,b) //传入固定值a,b.放回 d=gcd(a,b), x , y…

转载https://www.cnblogs.com/fzl194/p/9095177.html 组合数取模方法总结(Lucas定理介绍) 1.当n,m都很小的时候可以利用杨辉三角直接求. C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1): ; ll fac[maxn];//阶乘打表 void init(ll p)//此处的p应该小于1e5,这样Lucas定理才适用 { fac[] = ; ; i <= p; i++) fac[i] = fac[i - ] * i % p; } ll pow(…

#include<bits/stdc++.h> #define re register #define int long long using namespace std; ; inline int read(){ re ,b=;re char ch=getchar(); ') b=(ch==:,ch=getchar(); ') a=(a<<)+(a<<)+(ch^),ch=getchar(); return a*b; } inline int qpow(re int…

题意:给你n个东西,叫你把n分成任意段,这样的分法有几种(例如3:1 1 1,1 2,2 1,3 :所以3共有4种),n最多有1e5位,答案取模p = 1e9+7 思路:就是往n个东西中间插任意个板子,所以最多能插n - 1个,所以答案为2^(n - 1) % p.但是n最大有1e5位数,所以要用小费马定理化简. 小费马定理:假如p是质数,且gcd(a,p)=1,那么a (p-1)≡1(mod p) 所以我们只要把n - 1分解为n - 1 = k(p - 1) + m,而2^ k(p - 1)…

组合数的性质: C(n,m)=C(n,n-m); C(n,m)=n!/(m!(n-m)!); 组合数的递推公式: C(n,m)=  C(n-1,m-1)+C(n-1,m); 组合数一般数值较大,题目会要求取模;而求组合数的过程中一般会用到除法,所以会涉及除法取模的知识; 在除法取模的过程中,一般会求一个乘法逆元; 乘法逆元的定义:满足a*k≡1 (mod p)的k值就是a关于p的乘法逆元; 求乘法逆元的方法: (b/a)modp;(a|b)p为质数; 1.欧拉定理或者费马小定理: 费马小定理是欧…

从(1,1)到(n,m),每次向右或向下走一步,,不能经过(x,y),求走的方案数取模.可以经过(x,y)则相当于m+n步里面选n步必须向下走,方案数为 C((m−1)+(n−1),n−1) 再考虑其中经过(x,y)的方案数,也就是(1,1)到(x,y)的方案乘上(x,y)到(n,m)的方案,为 C((x−1)+(y−1),x−1)×C((n−x)+(m−y),n−x) 于是答案就是下式取模 C(m+n−2,n−1)−C(x+y−2,x−1)×C(n−x+m−y,n−x) m和n大到10的五次方…

BZOJ_2142_礼物_扩展lucas+组合数取模 Description 一年一度的圣诞节快要来到了.每年的圣诞节小E都会收到许多礼物,当然他也会送出许多礼物.不同的人物在小E 心目中的重要性不同,在小E心中分量越重的人,收到的礼物会越多.小E从商店中购买了n件礼物,打算送给m个人 ,其中送给第i个人礼物数量为wi.请你帮忙计算出送礼物的方案数(两个方案被认为是不同的,当且仅当存在某 个人在这两种方案中收到的礼物不同).由于方案数可能会很大,你只需要输出模P后的结果. Input 输入的第一…

1.当n,m都很小的时候可以利用杨辉三角直接求. C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1): 2.n和m较大,但是p为素数的时候 Lucas定理是用来求 c(n,m) mod p,p为素数的值. C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p 也就是Lucas(n,m)%p=Lucas(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p 求上式的时候,Lucas递归出口为m=0时返回1 求C(n%p, m%p)%p的时候,此处写成C(n, m)%p(p是素数,n和m均小于p…

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int a[4]={2,3,4679,35617}; int p[36000],b[4],n,g,ans,i,j,x,y,mod=999911658; int power(int a,int b){//快速幂 int c=1; for(;b;b>>=1){ if(b&1) c=(ll)c*a%mod; a=(ll)a*a%mod;…

这个题相当于求从1-n的递增方案数,为C(2*n-1,n); 取模要用lucas定理,附上代码: #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; LL mod=1000000007; LL quick_mod(LL a,LL b){ LL ans=1%mod; while(b){ if(b&1){ ans=ans*a%mod; b--; } b>>=1; a=a*a%mod; } retu…

题目分析: 题解好高深...... 我给一个辣鸡做法算了,题解真的看不懂. 注意到方差恒为$0$,那么其实就是要我们求$\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}(i^k-(n-i)^k)^2$. 转换一下 $\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}(i^k-(n-i)^k)^2$ $=2\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}(i^{2k}-i^k(n-i)^k)$ 注意到$i^{2k}$与$i^k(n-i)^k$在模$m$意义下都是一个周期为$m$的数列,那…

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3656 大意:经过一通推导,问题变成求\[\binom N M \mod P\],其中N,M<=1e9, P<=1e5,P可以是合数. 参考这位神犇的博客:http://blog.csdn.net/braketbn/article/details/50752153 作为一个蒟蒻,稍微写一点自己的理解... 如果P是素数,我们可以用lucas定理直接解决,那么P是合数应该怎么办呢? 首先,考虑把P分…