前言 初等数论在OI中应用的基础部分,同机房的AuSquare和zhou2003君早就写完了,一直划水偷懒的Hk-pls表示很方,这才开始了这篇博客. \(P.S.\)可能会分部分发表. Base-1 筛法求素数 埃式筛素数 问题:求\([1,n]\)中的所有素数 总体思路就是在\([2,n]\)中每当我们找到一个新的素数,在把它加入我们的素数队列的同时我们把它的倍数全部打上标记(包括它自己),下一个没有被标记的数就是新的素数. void find_prime(int n){ memset(us…

2019-ACM-ICPC-南昌区网络赛-H. The Nth Item-特征根法求通项公式+二次剩余+欧拉降幂 [Problem Description] ​ 已知\(f(n)=3\cdot f(n-1)+2\cdot f(n-2),(n\ge 2)\),求\(f(n)\pmod {998244353}\). [Solution] ​ 利用特征根法求得通项公式为\(a_n=\frac{\sqrt{17}}{17}\cdot\Bigg(\Big(\frac{3+\sqrt{17}}{2} \Bi…

题目链接:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2818 题意:给定整数N,求1<=x,y<=n且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对 思路:先筛出n以内所有的素数顺便筛出欧拉函数,\(gcd(x,y)=k\)等价于\(gcd(\frac{x}{k},\frac{y}{k})=1\) 所以这个问题可以转化为求\(ans=\sum_{i=1}^{tot}\sum_{j=1}^{n/prime[i]}phi[j]\) ,tot为…

转载自:http://www.cnblogs.com/candy99/p/6200660.html 2818: Gcd Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 4436  Solved: 1957[Submit][Status][Discuss] Description 给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对. 1<=N<=10^7 uva上做过gcd(x,y)=1的题 gcd(x,y…

埃拉托色尼筛法 朴素算法 1 vis[1]=1; 2 for (int i=2;i<=n;i++) 3 if (!vis[i]) 4 { 5 pri[++tot]=i; 6 for (int j=i*2;j<=n;j+=i) 7 vis[j]=1; 8 } 欧拉筛法 朴素算法 vis[]=; ;i<=n;i++) { if (!vis[i]) pri[++tot]=i; ;j<=tot;j++) { if (i*pri[j]>n) break; vis[i*pri[j]]=;…

本题题解 题目传送门:https://www.luogu.org/problem/P2303 给定一个整数\(n\),求 \[ \sum_{i=1}^n \gcd(n,i) \] 蒟蒻随便yy了一下搞出来个\(O(\sqrt{n})\)的算法 这题数据怎么这么水 首先看到gcd我们就下意识的对它反演一波对吧 第一步 \[ \sum_{i=1}^n \gcd(n,i) = \sum_{d|n} \varphi(d) \frac{n}{d} \] 这里提供两种化法,得到的结果都是这个. 法一 根据欧…

折腾了一晚上很水的数论,整个人都萌萌哒 主要看了欧拉筛和素数筛的O(n)的算法 这个比那个一长串英文名的算法的优势在于没有多次计算一个数,也就是说一个数只筛了一次,主要是在%==0之后跳出实现的,具体的解释看的迷迷糊糊,特别是欧拉函数的求解 http://blog.csdn.net/lerenceray/article/details/12420725 代码如下 void ES(){ ;i<n;i++){ if (!pd[i]){ prime[++top]=i; phi[i]=i-; } ;j<…

题目链接: 1239:http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1239 1244:http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1244 杜教筛裸题,不过现在我也只会筛这俩前缀和... $$s(n)=\sum _{i=1}^{n}f(i)$$ 那么就有: $$\sum_{i=1}^{n}f(i)\lfloor \frac{n}{i} \…

一通套路后得Σφ(d)μ(D/d)⌊n/D⌋2.显然整除分块,问题在于怎么快速计算φ和μ的狄利克雷卷积.积性函数的卷积还是积性函数,那么线性筛即可.因为μ(pc)=0 (c>=2),所以f(pc)还是比较好算的,讨论一波即可. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<algorith…

Sample Input 3 4 5 18 36 360 2147483647 Sample Output 1 1 2 3 6 48 1073741823 题目链接:https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=3937 题目大意:圆上有N个点把圆分成N等分,求隔同样的点能一笔画全然部点的方法: 思考:要一笔画出,那么(N.K)必然没有在…

//重点就是求1-n的欧拉函数啦,重点是nlogn求法的版 //大概过程类似于筛选法求素数 #include<cstdio> #include<iostream> #include<cmath> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<queue> #include<vector> #include<map>…

转自:http://blog.csdn.net/dream_you_to_life/article/details/43883367 作者:Sky丶Memory 1.一个数是否为质数的判定. 质数,只有1和其本身才是其约数,所以我们判定一个数是否为质数,只需要判定2~(N - 1)中是否存在其约数即可,此种方法的时间复杂度为O(N),随着N的增加,效率依然很慢.这里有个O()的方法:对于一个合数,其必用一个约数(除1外)小于等于其平方根(可用反证法证明),所以我们只需要判断2-之间的数即可. b…

这题有两种解法,1是根据欧拉函数性质:素数的欧拉函数值=素数-1(可根据欧拉定义看出)欧拉函数定义:小于x且与x互质的数的个数 #include<map> #include<set> #include<cmath> #include<queue> #include<stack> #include<vector> #include<cstdio> #include<cassert> #include<iom…

题意:求树上任意两点的距离 先说下欧拉序 对这颗树来说 欧拉序为 ABDBEGBACFHFCA 那欧拉序有啥用 这里先说第一个作用 求lca 对于一个欧拉序列,我们要求的两个点在欧拉序中的第一个位置之间肯定包含他们的lca,因为欧拉序1上任意两点之间肯定包含从第一个点走到第二个点访问的路径上的所有点 所以只需要记录他们的深度,然后从两个询问子节点x,y第一次出现的位置之间的深度最小值即可,可能不大好理解,看张图吧. 也就是说求lca可以转换为求一段区间的最值问题,结合rmq就可以处理啦 对于25…

题目描述 给定整数,求且为素数的数对有多少对. 分析 首先筛出所有的素数. 我们考虑枚举素数p,统计满足的个数,等价于统计的个数,即统计以内满足互质的有序数对个数. 不难发现,也就是说,我们只要预处理出欧拉函数,就可以在之内求出. 我们只需要用线性筛预处理出素数和欧拉函数,然后求,就可以在内解决问题. 代码 #include <cstdio> typedef long long lint; const int N=10000010; int n; int vis[N]; int pri[N];…

2818: Gcd Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 3241  Solved: 1437[Submit][Status][Discuss] Description 给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对. Input 一个整数N Output 如题 Sample Input 4 Sample Output 4 HINT hint 对于样例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2) 1&…

找新朋友 Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 7651    Accepted Submission(s): 4033 Problem Description 新年快到了,"猪头帮协会"准备搞一个聚会,已经知道现有会员N人,把会员从1到N编号,其中会长的号码是N号,凡是和会长是老朋友的,那么该会员的号码肯定和N有大…

Farey Sequence Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 65536K Total Submissions: 16927   Accepted: 6764 Description The Farey Sequence Fn for any integer n with n >= 2 is the set of irreducible rational numbers a/b with 0 < a < b <= n and gcd(a,b)…

版权声明:本文为博主原创文章,未经博主同意不得转载. vasttian https://blog.csdn.net/u012860063/article/details/36426357 题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2824 欧拉函数性质: 1:(百科):http://baike.baidu.com/link?url=r-yneKCCyS9N6bhbQCqiZX0V2OCYq9r7iHSzHTSs03H7qRvu1OfUzlOxf…

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1286 欧拉函数:对正整数n,欧拉函数是求少于n的数中与n互质的数的数目: 素数(质数)指在一个大于1的自然数中,除了1和此整数自身外,没法被其他自然数整除的数. φ函数的值 通式:φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数,x是不为0的整数.   φ(1)=1(唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身)…

传送门:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2818 2818: Gcd Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 9236  Solved: 4126[Submit][Status][Discuss] Description 给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对. Input 一个整数N Output 如题 Sample Input…

题目链接:https://vjudge.net/problem/UVA-11426 题目大意: 给出整数n∈[2,4000000],求解∑gcd(i,j),其中(i,j)满足1≤i<j≤n. 的确没有想到是欧拉函数,这怎么会想到欧拉函数呢?  又不是要我们求所有gcd为1的个数  那些gcd不为1的怎么办呢?  当时怎么就没想到呢  除过去不就变为1了吗  自己是真的菜... 还是要多做题,把思维开阔起来!!! 思路在代码中  直接看代码: /** 欧拉函数三个性质 是素数的话 欧拉函数值等于它…

/** 题目:A - Bi-shoe and Phi-shoe 链接:https://vjudge.net/contest/154246#problem/A 题意:每一个数都有一个得分,它的得分就是,假定这个数为n,那么<n且与n互质的数的个数就是n的得分: 注意这里<n说明不是完全求欧拉函数,当n=1的时候值为0:其他和欧拉函数求法一样. 现在给定n个数xi,对每一个数xi找一个最小的满足条件的数yi,使得yi的得分>=xi这个数. 求n个数xi对应找出来的yi的和. 思路: 第一种做…

前两天总结了素数筛法,其中就有Eular筛法.现在他又来了→→ φ(n),一般被称为欧拉函数.其定义为:小于n的正整数中与n互质的数的个数. 毕竟是伟大的数学家,所以以他名字命名的东西很多辣. 对于φ(n),我们有这样[三个性质]: (1) [若n为素数],则φ(n) = n - 1 显然,由于n为素数,1~n-1与n都只有公因子1,因此φ(n) = n - 1. 比如φ(11)=10={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}; (2) [若n = p^k],p为素数(即n为单个素数的整数幂…

2^x mod n = 1 Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 15810    Accepted Submission(s): 4914 Problem Description Give a number n, find the minimum x(x>0) that satisfies 2^x mod n = 1.   I…

约数 一.概念 约数,又称因数.整数a除以整数b(b≠0) 除得的商正好是整数而没有余数,我们就说a能被b整除,或b能整除a.a称为b的倍数,b称为a的约数. 二.性质 1.整数唯一分解 1)定义 对于任意一个正整数N,都有 N=p1c1*p2c2...pmcm,其中p为质数. 2)正约数集合 ={p1b1*p2b2*...pmbm|0<=bi<=ci}   3)正约数的和 f(n)=(p1^0+p1^1+p1^2+…p1^a1)(p2^0+p2^1+p2^2+…p2^a2)…(pk^0+pk…

https://blog.csdn.net/Lytning/article/details/24432651    记牢通式 =x((p1-1)/p1) * ((p2-1)/p2)....((pn-1)/pn) 求一个整数的欧拉函数: int eular(int n){ int res = n, x = n; for(int i = 2; i*i <= x; i++){ if(x % i == 0){ //是其中的一个质因数 res = res/i*(i-1);//保证为整数 且不会溢出 whi…

大白书P125 #include <iostream> #include <cstring> using namespace std; #define MMX 4000010 #define LL long long int phi[MMX],f[MMX]; LL S[MMX]; void calc_phi(int n) //求1--n的欧拉函数,phi[i]=φ(i) { ;i<=n;i++) phi[i]=; phi[]=; ;i<=n;i++) if (!phi[…

题意:求1--n中满足gcd(x,y)的值为质数的数对(x,y)的数目 ( (x,y)和(y,x)算两个 ) sol: 设p[i]是一个质数,那么以下两个命题是等价的: 1.gcd(x,y)=1 2.gcd(x*p[i],y*p[i])=p[i] eg:gcd(36,25)=1,gcd(36*7,25*7)=7 所以对于1--n的所有质数p[i],求一下1<=x,y<=n/p[i]中所有gcd(x,y)=1的数对的数目即可. 如何求1--r范围内所有互质数对的数目? 考虑欧拉函数φ(x)=1.…

这两个题都是项链珠子的染色问题 也是polya定理的最基本和最经典的应用之一 题目大意: 用m种颜色染n个珠子构成的项链,问最终形成的等价类有多少种 项链是一个环.通过旋转或者镜像对称都可以得到置换 旋转可以旋转 i=[1,n]次..画图可以看出循环节有gcd(n,i)个 镜像对称的置换画个图也是很容易找的 然后通过polya定理就可以容易的求出等价类的种数了 2409就是这样一个裸题,以下为ac代码 #include <iostream> #include <stdio.h> #…