目录 @0 - 参考资料@ @0.5 - 你所需要了解的线性代数知识@ @1 - 矩阵树定理主体@ @证明 part - 1@ @证明 part - 2@ @证明 part - 3@ @证明 part - 4@ @2 - 一些简单的推广@ @3 - 例题与应用@ @4 - prüfer 序列@ @0 - 参考资料@ MoebiusMeow 的讲解(超喜欢这个博主的!) 网上找的另外一篇讲解 @0.5 - 你所需要了解的线性代数知识@ 什么是矩阵? 什么是高斯消元?这个虽然与主题无关,但是求解行列…

终于学到这个了,本来准备省选前学来着的? 前置知识:矩阵行列式 矩阵树定理 矩阵树定理说的大概就是这样一件事:对于一张无向图 \(G\),我们记 \(D\) 为其度数矩阵,满足 \(D_{i,i}=\text{点}i\text{的度数}\),\(D_{i,j}=0(i\ne j)\),再记 \(A\) 为其邻接矩阵,满足 \(A_{i,j}=i,j\text{之间边的条数}\),如果有重边则算作多条边. 设 \(K=D-A\),那么去掉 \(K\) 第 \(k\) 行第 \(k\) 列(\(k\…

题目描述 轮状病毒有很多变种,所有轮状病毒的变种都是从一个轮状基产生的.一个N轮状基由圆环上N个不同的基原子和圆心处一个核原子构成的,2个原子之间的边表示这2个原子之间的信息通道.如下图所示 N轮状病毒的产生规律是在一个N轮状基中删去若干条边,使得各原子之间有唯一的信息通道,例如共有16个不同的3轮状病毒,如下图所示 现给定n(N<=100),编程计算有多少个不同的n轮状病毒 输入 第一行有1个正整数n 输出 计算出的不同的n轮状病毒数输出 样例输入 3 样例输出 16 题解 矩阵树定理+高精度…

Codeforces 题目传送门 & 洛谷题目传送门 刚好看到 wjz 在做这题,心想这题之前好像省选前做过,当时觉得是道挺不错的题,为啥没写题解呢?于是就过来补了,由此可见我真是个大鸽子(( 跑题了跑题了-- 这里提供两种解法: Algorithm 1. 注意到"恰好"二字有点蓝瘦,因此套路地想到二项式反演,也就说我们钦定 \(k\) 条边必须与原树中的边重合,其余边可以随便连的方案数,我们假设这些与原树中的边重合的边构成的集合为 \(E'\),那么 \(E'\) 中显然包含…

最近集中学习了一下矩阵树定理,自己其实还是没有太明白原理(证明)类的东西,但想在这里总结一下应用中的一些细节,矩阵树定理的一些引申等等. 首先,矩阵树定理用于求解一个图上的生成树个数.实现方式是:\(A\)为邻接矩阵,\(D\)为度数矩阵,则基尔霍夫(Kirchhoff)矩阵即为:\(K = D - A\).具体实现中,记 \(a\) 为Kirchhoff矩阵,则若存在 \(E(u, v)\) ,则\(a[u][u] ++, a[v][v] ++, a[u][v] --, a[v][u] --\…

https://blog.csdn.net/zhaoruixiang1111/article/details/79185927 为了学一个矩阵树定理 从行列式开始学(就当提前学线代了.. 论文生成树的计数及其应用 矩阵数定理: 截图来自于上述论文 裸题. #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<iostream> using namespace std; ; ; double…

In some countries building highways takes a lot of time... Maybe that's because there are many possiblities to construct a network of highways and engineers can't make up their minds which one to choose. Suppose we have a list of cities that can be c…

[BZOJ1494][NOI2007]生成树计数(动态规划,矩阵快速幂) 题面 Description 最近,小栋在无向连通图的生成树个数计算方面有了惊人的进展,他发现: ·n个结点的环的生成树个数为n. ·n个结点的完全图的生成树个数为n^(n-2).这两个发现让小栋欣喜若狂,由此更加坚定了他继续计算生成树个数的 想法,他要计算出各种各样图的生成树数目.一天,小栋和同学聚会,大家围坐在一张大圆桌周围.小栋看了看, 马上想到了生成树问题.如果把每个同学看成一个结点,邻座(结点间距离为1)的同学间…

1016: [JSOI2008]最小生成树计数 Description 现在给出了一个简单无向加权图.你不满足于求出这个图的最小生成树,而希望知道这个图中有多少个不同的最小生成树.(如果两颗最小生成树中至少有一条边不同,则这两个最小生成树就是不同的).由于不同的最小生成树可能很多,所以你只需要输出方案数对31011的模就可以了. Input 第一行包含两个数,n和m,其中1<=n<=100; 1<=m<=1000; 表示该无向图的节点数和边数.每个节点用1~n的整数编号.接下来的m…

题目描述 有一种图形叫做五角形圈.一个五角形圈的中心有1个由n个顶点和n条边组成的圈.在中心的这个n边圈的每一条边同时也是某一个五角形的一条边,一共有n个不同的五角形.这些五角形只在五角形圈的中心的圈上有公共的顶点.如图0所示是一个4-五角形圈. 现在给定一个n五角形圈,你的任务就是求出n五角形圈的不同生成树的数目.还记得什么是图的生成树吗?一个图的生成树是保留原图的所有顶点以及顶点的数目减去一这么多条边,从而生成的一棵树. 注意:在给定的n五角形圈中所有顶点均视为不同的顶点. 输入 输入包含多…

我们把边从小到大排序,然后依次插入一种权值的边,然后把每一个联通块合并. 然后当一次插入的边不止一条时做矩阵树定理就行了.算出有多少种生成树就行了. 剩下的交给乘法原理. 实现一不小心就会让程序变得很丑 #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<cmath> #include<algorithm> using namespace std; #define int…

有同学在loj上找到了加强版 所以这道题是可以交的.LINK:生成树求和 加强版 对于30分 爆搜 可实际上我爆搜只过了25分 有同学使用按秩合并并茶几的及时剪枝通过了30分. const int MAXN=45; int n,m; struct wy { int x,y,z; }t[MAXN]; int w[MAXN],f[MAXN];ll ans; inline int getfather(int x){return x==f[x]?x:getfather(f[x]);} inline in…

loj6271 「长乐集训 2017 Day10」生成树求和 加强版(矩阵树定理,循环卷积) loj 题解时间 首先想到先分开三进制下每一位,然后每一位分别求结果为0,1,2的树的个数. 然后考虑矩阵树求出来的是树的边权之积的和,而我们要求树的边权的不进位三进制和的和. 由于矩阵树求出来的是树的边权之积的和,考虑暴力上生成函数求解循环卷积,结果就是 $ c $ 的项的系数和. 但很明显生成函数暴力算是没得整的. 所以我们想到了利用单位根实现的k进制FWT. 很幸运的 $ \omega_{ 3 }…

传送门 矩阵树定理模板题. 题意简述:自己看题面吧太简单懒得写了 直接构建出这4n4n4n个点然后按照题面连边之后跑矩阵树即可. 代码: #include<bits/stdc++.h> #define ri register int #define idx(x) ((x)%n) using namespace std; const int N=505,mod=2007; int n,a[N][N]; inline void add(int u,int v){++a[u][u],++a[v][v…

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2467 题意: 思路:要用矩阵树定理不难,但是这里的话需要取模,所以是需要计算逆元的,但是用辗转相减会更简单. 引用一大神博客里的介绍:http://blog.csdn.net/u013010295/article/details/47451451 值得一提的是,有些题目要求行列式模上一个数的结果.怎么求模意义下的行列式呢?这些题答案都比较大,用浮点数的话精度达不到要求,确实是一个问题.(显然强行用…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1016 从 Kruskal 算法的过程来考虑产生多种方案的原因,就是边权相同的边有一样的功能,从而带来了多种选择: 对于每一层次(边权相同)的边来说,它们最终会把图进一步连通: 所以在这一层之前缩好点,看看这一层连接出几个新连通块,对于每个连通块内部做矩阵树定理求生成树个数,再乘法原理乘起来即可: 注意高斯消元的矩阵不能直接用原图的点标号等,求行列式会出错: 疑惑:以及高斯消元 return…

矩阵树定理 Matrix Tree ​ 矩阵树定理主要用于图的生成树计数. 看到给出图求生成树的这类问题就大概要往这方面想了. 算法会根据图构造出一个特殊的基尔霍夫矩阵\(A\),接着根据矩阵树定理,用\(A\)计算出生成树个数. 1.无向图的生成树计数 对于给定的可含重边的连通无向图\(G\),求其生成树的个数.求法如下: 定义度数矩阵\(D\):该矩阵仅在对角线上有值,\(D_{i,i}\)表示\(i\)号点的度数.对于图中每一条无向边\((u,v)\),\(D_{u,u}\)++,\(D_…

专题做完了还是要说两句留下什么东西的. 矩阵树定理通俗点讲就是: 建立矩阵A[i][j]=edge(i,j),(i!=j).即矩阵这一项的系数是两点间直接相连的边数. 而A[i][i]=deg(i).即对角线上都是这个点的度数. 得到这个矩阵后,随便删掉一行一列后进行高斯消元得到上三角矩阵,对角线上值的积就是生成树的个数.(就是行列式) 顺便提一下行列式的性质: 交换两行/列,行列式的值变为相反数. 一行的每一项减去另一行的若干倍,行列式不变. 一行的每一项都乘一个常数,行列式也乘这个常数. 到…

http://acm.csu.edu.cn/csuoj/problemset/problem?pid=1805 题意: A和B之间有a条边,A和G之间有b条边,B和G之间有c条边.现在从A点出发走遍所有的边,然后再回到A点,问一共有多少种方法. 思路: 16年湖南省赛题目,这道题目是求欧拉回路的个数,和生成树的计数有一定的联系. 首先给出神奇的Best定理,这是什么鬼定理,反正查不到什么有关该定理的文章... $ec(G)=t_s(G)\cdot deg(s)! \cdot \prod_{v\i…

首先,我们需要求的是 $$\sum\limits_{Tree} \prod\limits_{E \in Tree} E(u, v) \prod\limits_{E \notin Tree} (1 - E(u, v))$$ 我们知道变元矩阵树定理 ---> 不知道请见此 我们自然希望要求和的事物只跟生成树的边有关 因此考虑把$\prod\limits_{E \notin Tree} (1 - E(u, v))$转化为$\prod\limits_{E} (1 - E(u, v)) * \frac{1…

运用矩阵树定理进行生成树计数 给定一个n个点m条边的无向图,问生成树有多少种可能 直接套用矩阵树定理计算即可 矩阵树定理的描述如下: 首先读入无向图的邻接矩阵,u-v G[u][v]++ G[v][u]++ 度数矩阵: u-v D[u][u]++ D[v][v]++; 然后计算图G的基尔霍夫矩阵 C=D-G 接着去掉基尔霍夫矩阵的第i行和第i列(必须都是i,i取任意值) 计算剩下的子矩阵的行列式的值得绝对值即为生成树个数 然后对于有向图来说: 边 u->v G[u][v]++ 然后是D[v][v…

题目 T国有N个城市,用若干双向道路连接.一对城市之间至多存在一条道路. 在一次洪水之后,一些道路受损无法通行.虽然已经有人开始调查道路的损毁情况,但直到现在几乎没有消息传回. 辛运的是,此前T国政府调查过每条道路的强度,现在他们希望只利用这些信息估计灾情.具体地,给定每条道路在洪水后仍能通行的概率,请计算仍能通行的道路恰有N-1条,且能联通所有城市的概率. 输入格式 输入的第一行包含整数N. 接下来N行,每行N个实数,第i+l行,列的数G[i][j]表示城市i与j之 间仍有道路联通的概率. 输…

题面传送门 一道很神的矩阵树定理+乱搞的题 %%%%%%%%%%%%%%% vfk yyds u1s1 这种题目我是根本想不出来/kk,大概也就 jgh 这样的随机化带师才能想到出来吧 首先看到生成树计数可以很显然地想到矩阵树定理,但是由于此题是根据生成树个数构造合法的解的方案,所以一看就没有什么正经的做法(有提答题内味儿了). 一个很显然的性质是:对于一张图我们可以考虑将其进行边双连通分量缩点,那么最终的生成树个数显然等于所有边双连通分量中生成树的乘积.这就启发我们采用这样一个思想,将原来 \…

题面传送门 首先看到这道题你必须要有一个很清楚的认识:这题新定义的 \(\oplus\) 符号非常奇怪,也没有什么性质而言,因此无法通过解决最优化问题的思路来解决这个问题,只好按照计数题的思路来解决,即考虑 \(cnt_k\) 表示权值为 \(k\) 的生成树的个数,那么我们即求最大的满足 \(cnt_k\ne 0\) 的 \(k\). 考虑怎样维护这个东西,首先考虑一个非常 trivial 的情况,如果题目中求生成树权值的方法不是这个奇怪的 \(\oplus\) 运算而是加法怎么办.那么对于一…

传送门 题意: 给定一个一边点数为n,另一边点数为m,共有n*m条边的带标号完全二分图$K_{n,m}$ 求生成树个数 1 <= n,m,p <= 10^18 显然不能暴力上矩阵树定理 看过推到完全图的生成树个数后这道题也不难做 构建出基尔霍夫矩阵,找一个主子式,所有行加起来放一行上,用这一行消消消就发现最后对角线上有$n-1$个$m$和$m-1$个$n$和$1$个$1$ 然后要用快速乘...蒟蒻第一次用快速乘... #include <iostream> using namesp…

[LOJ#6072]苹果树(矩阵树定理,折半搜索,容斥) 题面 LOJ 题解 emmmm,这题似乎猫讲过一次... 显然先\(meet-in-the-middle\)搜索一下对于每个有用的苹果数量,满足权值小于\(lim\)的方案数 ,那么只需要考虑它们构成生成树的方案数就好了. 显然有用的可以和所有的有用的或者是坏的连边,好的但不有用的只能和坏的连边,而坏的随意. 但是这样子算出来的结果是至多,因此还需要额外容斥一下计算生成树的个数. #include<iostream> #include&…

题意 给你 \(n\) 个点的无向完全图,指定一棵树 \(S\),问有多少棵生成树和这棵树的公共边数量为 \(k\in[0,n-1]\) \(n\leq 100\) 分析 考虑矩阵树定理,把对应的树边的边权设置成 \(x\) 然后构造基尔霍夫矩阵, 结果记为 \(val\) ,有 \[val=\sum_\limits{i=0}^{n-1}x^ians_i\] 其中 \(ans_i\) 表示和 \(S\) 的公共边数量为 \(i\) 的生成树的个数. 发现这是一个关于 \(x\) 的多项式,我们要…

题目描述 给出 $n$ 个点和 $n-1$ 种颜色,每种颜色有若干条边.求这张图多少棵每种颜色的边都出现过的生成树,答案对 $10^9+7$ 取模. 输入 第一行包含一个正整数 N(N<=17), 表示城市个数. 接下来 N-1 行,其中第 i行表示第 i个建筑公司可以修建的路的列表: 以一个非负数mi 开头,表示其可以修建 mi 条路,接下来有mi 对数, 每对数表示一条边的两个端点.其中不会出现重复的边,也不会出现自环. 输出 仅一行一个整数,表示所有可能的方案数对 10^9 + 7 取模的…

传送门 第一次写矩阵树定理. 就是度数矩阵减去邻接矩阵之后得到的基尔霍夫矩阵的余子式的行列式值. 这个可以用高斯消元O(n3)" role="presentation" style="position: relative;">O(n3)O(n3)求. 代码: #include<bits/stdc++.h> #define eps 1e-5 #define N 20 using namespace std; int n,m,c[N][N],…

题目链接 CF917D:https://codeforces.com/problemset/problem/917/D TopCoder13369:https://community.topcoder.com/stat?c=problem_statement&pm=13369 题解 首先分析 CF917D. 我们考虑能否将树上的边的贡献特殊表现出来. 记原树为 \(T\),我们构造一幅 \(n\) 个结点的无向完全图,并设置一个值 \(x\),对于无向边 \((u, v)\),其权值 \(w_{…