对于同余式 \[x^2 \equiv n \pmod p\] 若对于给定的\(n, P\),存在\(x\)满足上面的式子,则乘\(n\)在模\(p\)意义下是二次剩余,否则为非二次剩余 我们需要计算的是在给定范围内所有满足条件的\(x\),同时为了方便,我们只讨论\(p\)是奇质数的情况 前置定理 \(x^2 \equiv (x+p)^2 \pmod p\) 证明:\(x^2 \equiv x^2 + 2xp + p^2 \pmod p\)显然成立 对于\(x^2 \equiv n \pmod…

二次剩余 \(Cipolla\) 算法 概述 大概就是在模 \(p\) 意义下开根号,如求解方程\(x^2\equiv n(mod\ p)\). 这里只考虑 \(p\) 为素数的情况.若 \(p=2\) ,则\(x=0\ when\ n=0,x=1\ when\ n=1\). 若 \(p​\) 为奇素数,定义勒让德符号: \[ \lgroup\frac{n}{p}\rgroup =n^{\frac{p-1}{2}} \] 则根据欧拉准则, 对于 \(\lgroup \frac{n}{p} \rg…

欧拉准则 \(a\)是\(p\)的二次剩余等价于\(a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\pmod p\),\(a\)不是\(p\)的二次剩余等价于\(a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\pmod p\). Cipolla 若\(a^2-n\)不是\(p\)的二次剩余,则\(p\)的二次剩余为\((a+\sqrt{a^2-n})^\frac{p+1}{2}\). 因此我们随机\(a\)即可.\(\sqrt{a^2-n}\)的计算用复数. 时间复杂度约为\(O(\l…

目录 二次剩余 勒让德符号(legendre symbol) Cipolla's Algorithm. 代码 end 二次剩余 给定y和奇质数p,求x,使得\(x^2≡y(mod p)\) 勒让德符号(legendre symbol) 以前看视频的截图 求解\(x^2\equiv a(mod\ p)\)时,我们可用勒让德符号来判定他是否有解 (前提,p必须为奇素数) \(\begin{pmatrix} \frac{a}{p} \end{pmatrix}=\begin{cases}0 (a\equ…

Cipolla LL ksm(LL k,LL n) { LL s=1; for(;n;n>>=1,k=k*k%mo) if(n&1) s=s*k%mo; return s; } namespace number { LL D; struct Z { LL x,y; Z(LL _x=0,LL _y=0){x=_x,y=_y;} }; Z operator +(const Z &x,const Z &y) {return Z((x.x+y.x)%mo,(x.y+y.y)%m…

题意: 求\(x^2 \equiv a \mod p\) 的所有整数解 思路: 二次剩余定理求解. 参考: 二次剩余Cipolla's algorithm学习笔记 板子: //二次剩余,p是奇质数 ll ppow(ll a, ll b, ll mod){ ll ret = 1; a = a % mod; while(b){ if(b & 1) ret = ret * a % mod; a = a * a % mod; b >>= 1; } return ret; } struct TT…

费马小定理&欧拉定理 费马小定理: 如果\(p\)是一个质数,而整数\(a\)不是\(p\)的倍数,\(a^{p-1}\equiv1\pmod p\) 欧拉定理: 当\(a\)与\(n\)互质时,\(a^b \equiv a^{b\%\phi(n)} \pmod n\) 扩展欧拉定理: \[ a^b \equiv \begin{cases} a^b\pmod n (b<\phi(n))\\ a^{b\%\phi(n)+\phi(n)\pmod n (b\ge\phi(n))}\\ \end{…

二次剩余定义: 在维基百科中,是这样说的:如果q等于一个数的平方模 n,则q为模 n 意义下的二次剩余.例如:x2≡n(mod p).否则,则q为模n意义下的二次非剩余. Cipolla算法:一个解决二次剩余强有力的工具,用来求得上式的x的一个算法. 需要学习的数论及数学基础:勒让德符号.欧拉判别准则和复数运算. 勒让德符号:判断n是否为p的二次剩余,p为奇质数. 欧拉定理为xφ(p)≡1(mod p) 当p为素数时,可知φ(p)=p-1,转化为xp-1≡1(mod p) 开根号后为 x(p−1…

二次剩余 ppp是奇素数.所有的运算都是在群Zp∗Z_{p}^{*}Zp∗​中的运算.方程x2=a≠0x^2=a \neq 0x2=a̸​=0问是否有解,以及解是什么?若有解,aaa就是模ppp的二次剩余:若无解,则aaa就是模ppp的非二次剩余. a=0a=0a=0,显然只有唯一解x=0x=0x=0. a≠0a\neq 0a̸​=0,有解等价于ap−12=1a^{\frac{p-1}{2}}=1a2p−1​=1;无解等价于ap−12=−1a^{\frac{p-1}{2}}=-1a2p−1​=−…

欧拉准则 模\(p\)意义下,\(a\)是二次剩余等价于\(a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\),\(a\)不是二次剩余等价于\(a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\). Cipolla算法 Cipolla 若\(a^2-n\)不是二次剩余,则\(n\)的二次剩余是\((a+\sqrt {a^2-n})^\frac{p+1}{2}\).其中计算时记录\(\sqrt{a^2-n}\)的系数,可证明最后其系数为\(0\). 随机\(a\)即可.时间复杂度为\(O(…

转自:http://blog.csdn.net/doyouseeman/article/details/52033204 简介 Cipolla算法是解决二次剩余强有力的工具,一个脑洞大开的算法. 认真看懂了,其实是一个很简单的算法,不过会感觉得出这个算法的数学家十分的机智. 基础数论储备 二次剩余 首先来看一个式子x2≡n(modp),我们现在给出n,要求求得x的值.如果可以求得,n为mod p的二次剩余,其实就是n在mod p意义下开的尽方.Cipolla就是一个用来求得上式的x的一个算法.…

题面 传送门 前置芝士 \(bsgs\),\(Cipolla\) 题解 因为题目保证\(p\bmod 10\)是完全平方数,也就是说\(p\bmod 5\)等于\(1\)或\(-1\),即\(5\)是模\(p\)的二次剩余(法老讲过,我忘了为啥了--) 然后我们需要用\(Cipolla\)求出\(c=\sqrt{5}\),并记\(p={1+c\over 2}\) 用斐波那契数列的通项公式代入,方程可以变为 \[{1\over c}\left(p^n-(-1)^n{1\over p^n}\righ…

题面 传送门 题解 首先你得会多项式开根->这里 其次你得会解形如 \[x^2\equiv a \pmod{p}\] 的方程 这里有两种方法,一个是\(bsgs\)(这里),还有一种是\(Cipolla\)(这里)(不过这个只能用来解二次剩余就是了) 代码里留着的是\(bsgs\),注释掉的是\(Cipolla\) 如果用\(Cipolla\)的话注意这里需要求的是较小的那个解 //minamoto #include<bits/stdc++.h> #include<tr1/unor…

LINK 题意:求满足模p下$\frac{1}{a_i+a_j}\equiv\frac{1}{a_i}+\frac{1}{a_j}$的对数,其中$n,p(1\leq n\leq10^5,2\leq p\leq10^{18})$ 思路:推式子,两边同乘$(a_i + a_j)^3$,得$a_i^2+a_j^2 \equiv {a_i·a_j} \mod{p}$,进一步$a_i^2+a_j^2+a_i·a_j\equiv {0} \mod{p}$,然后?然后会点初中数竞,或者数感好会因式分解就能看出…

数学杂烩总结(多项式/形式幂级数+FWT+特征多项式+生成函数+斯特林数+二次剩余+单位根反演+置换群) 因为不会做目录所以请善用ctrl+F 本来想的是笔记之类的,写着写着就变成了资源整理 一些有的没的的前置 导数 \(f'(x)=\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{f(x+\triangle x)-f(x)}{\triangle x}\) \(\sin x:\cos x\) \(\cos x:-\sin x\) \(\ln x:\frac{…

部分引用自:http://blog.csdn.net/v5zsq/article/details/77255048 所以假设方程 x^2+x+1=0 在模p意义下的解为d,则答案就是满足(ai/aj) mod p = d的数对(i,j)的数量(i<j). 现在把问题转化为解这个模意义下的二次方程. x^2+x+1=0 配方:x^2+x+1/4+3/4=0 (x+1/2)^2+3/4=0 同乘4:(2x+1)^2+3=0 即(2x+1)^2=-3 (mod p) 换句话说,我们必须保证-3+p是p…

学习了一下1个$\log$的二次剩余.然后来水一篇博客. 当$p$为奇素数的时候,并且$(n, p) \equiv 1 \pmod{p}$,用Cipolla算法求出$x^2 \equiv n \pmod{p}$的一组解. 寻找一个$a$,使得$a^2 - n$是一个二次非剩余. 期望只用2次就能找到. 令$\omega \equiv \sqrt{a^2 - n} \pmod{p}$,显然这个值不存在,我们强行扩域. 那么$(a + \omega)^{(p + 1) / 2}$即为一组解. 证明如…

题意 定义 $F_n$ 为 $$F_n = \left\{\begin{matrix}0, n=0\\ 1, n=1 \\F_{n-1} + F_{n-2}, n > 1\end{matrix}\right.$$ 现给你一个素数 $p$ 和一个非负整数 $C$,你需要最小的非负整数 $n$,使得 $F_n \equiv C (mod \ p)$. 分析 因为题目保证 $p \ mod \ 10$ 是一个完全平方数,也就是说 $p \ mod \ 5$ 等于1或-1,即5是模$p$ 的二次剩余(据…

Power of Fibonacci Time Limit: 5 Seconds      Memory Limit: 65536 KB In mathematics, Fibonacci numbers or Fibonacci series or Fibonacci sequence are the numbers of the following integer sequence: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, .…

题意 题目链接 题目链接 一种做法是直接用欧拉降幂算出\(2^p \pmod{p - 1}\)然后矩阵快速幂. 但是今天学习了一下二次剩余,也可以用通项公式+二次剩余做. 就是我们猜想\(5\)在这个模数下有二次剩余,拉个板子发现真的有. 然求出来直接做就行了 #include<bits/stdc++.h> #define Pair pair<int, int> #define MP(x, y) make_pair(x, y) #define fi first #define se…

若m=0, 就是求n^2n ≡ x mod p (x--) 因为一定优解,所以x一定是p的二次剩余 令g为p的1个原根,且g^k ≡ x mod p 则k是偶数,证明k是偶数: 假设 g1^k1 ≡ x mod p g2^k2 ≡ x mod p,k2是偶数 g1^k3 ≡ g2 mod p 那么 g1^k3k2 ≡ x ≡ g1^k1 mod p 由欧拉定理可得,k3k2 ≡ k1 mod p-1 ∴ k1是偶数 所以对于任意g,k是偶数 所以等价于求 n^n ≡ g^(k/2) mod p…

http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1132 题意: 求 x^2 ≡ n mod p  p是质数 的 解 本题中n>=1 特判p=2,接下来求当p是奇素数时的解 引理1: 引理2:方程有解当且仅当 定理: 设a满足 不是模p的二次剩余, 即无解, 那么是二次剩余方程的解 #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<algorithm> using namesp…

传送门 MD写一道二次剩余的板题差点写自闭了. 我用的是cipollacipollacipolla算法. 利用的是欧拉准则来找寻一个二次非剩余类来求根. 注意这题有两个等根和模数为2的情况. 代码: #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; int T,n,mod; inline int ksm(int a,int p){int ret=1;for(;p;p>>=1,a=(ll)a*a%mo…

二次剩余求的是这个东西 如果给定x,再给定若干个大的质数p,如果结果a相同,那么x是完全平方数? 给出别人的二次剩余的代码: /*poj 1808 题意: 判断平方剩余,即判断(x^2)%p=a是否有解. 限制: |a| <= 1e9 && a % p !=0; 2 < p < 1e9 && p为奇素数. 思路: 用欧拉准则计算勒让德符号(用来判断平方剩余) */ #include<iostream> #include<cstdio>…

5在1e9+9下有二次剩余,那么fib的通项公式就有用了. 已知Fn,求n.注意到[(1+√5)/2]·[(1-√5)/2]=-1,于是换元,设t=[(1+√5)/2]n,原式变为√5·Fn=t-(-1)n·t-1.同乘t并移项,可得t2-√5·Fn·t-(-1)n=0.讨论n的奇偶性,BSGS求二次剩余大力解方程即可.用BSGS求二次剩余是非常简单的,求出其以原根为底的离散对数即可. 注意二次剩余有正负两解,但似乎代进去正根(即√gk=gk/2)就行了,不太明白.以及题目要求最小解,BSGS的…

求$G(a,b,n,p) = (a^{\frac {p-1}{2}}+1)(b^{\frac{p-1}{2}}+1)[(\sqrt{a} + \sqrt{b})^{2F_n} + (\sqrt{a} - \sqrt{b})^{2F_n}] (mod p)$ 左边可以看出是欧拉判定准则,那么只有当a,b其中一个满足是模p下的非二次剩余时G()为0. 右边的式子可以先把平方放进去,发现这个已经是通项公式了,那么$a+b+\sqrt{ab}$和$a+b-\sqrt{ab}$就是它的特征根了,反代回二阶…

N次剩余 给定 \(N,a,P\),且 \(P\) 最好为质数 可以算出 \(x^N\equiv a(mod~p)\) 的解 首先可以算出 \(P\) 的原根 \(g\) 解方程 \(g^y\equiv b(mod~p)\),这个直接 \(BSGS\) 设 \(g^z\equiv x(mod~p)\) 那么 \(g^{za}=g^y(mod~p)\iff za\equiv y(mod~\varphi(p))\),这个直接 \(exgcd\) 无解在 \(BSGS\) 和 \(exgcd\) 的时…

LINK 题意:简单粗暴,求菲波那契数列每个数的m次的前n项和模1e9+7 思路:斐波那契通项式, 注意到有很多根号5,求二次剩余为5模1e9+7的解,显然我们可以直接找一个(383008016),然后拿来替代根号5,然后优化下,把中括号中共轭的两部分预处理下,然后由于是外部的一个指数m,从1枚举到m,来求二项式定理的每项系数,再用个逆元就好了.人家的校赛题( /** @Date : 2017-03-18-15.39 * @Author : Lweleth (SoungEarlf@gmail.c…

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6128 题意:给你n个数,问你有多少对i,j,满足i<j,并且1/(ai+aj)=1/ai+1/aj 在%p意义下. 解法:官方题解说是用二次剩余来解,但是我并不会这玩意了.在网上看到一位大佬没有二次剩余直接通过推公式做出了这题,真是神奇.http://www.cnblogs.com/bin-gege/p/7367337.html  将式子通分化简后可得(ai2+aj2+ai*aj)%p=0 .然后两…

BSGS $Big\ Step\ Giant\ Step$,大步小步法,一种在$O(\sqrt{p})$内求解方程$a^x\equiv b (mod\ p)$的算法. 先考虑$p$为质数的情况. 令$x=im-j$,$m=\lceil \sqrt{p} \rceil$(注意是上取整,要保证大步比小步大),则$a^{im-j}\equiv b(mod\ p)$. 移项,有$(a^m)^i\equiv ba^j(mod\ p)$. 首先$0-i$枚举$j$,将$ba^j$存入哈希表.在$1-m$枚举…