题目来源:id=2480" style="color:rgb(106,57,6); text-decoration:none">POJ 2480 Longge's problem 题意:求i从1到n的gcd(n, i)的和 思路:首先假设m, n 互质 gcd(i, n*m) = gcd(i, n)*gcd(i, m) 这是一个积性函数积性函数的和还是积性函数 由欧拉函数知识得 phi(p^a) = p^a - p^(a-1) p是素数 a是正整数 得到终于答案f(n)…

题意: 求f(n)=∑gcd(i, N) 1<=i <=N. 分析: f(n)是积性的数论上有证明(f(n)=sigma{1<=i<=N} gcd(i,N) = sigma{d | n}phi(n / d) * d ,后者是积性函数),能够这么解释:当d是n的因子时,设1至n内有a1,a2,..ak满足gcd(n,ai)==d,那么d这个因子贡献是d*k,接下来证明k=phi(n/d):设gcd(x,n)==d,那么gcd(x/d,n/d)==1,所以满足条件的x/d数目为phi(…

思路:首先给出几个结论: 1.gcd(a,b)是积性函数: 2.积性函数的和仍然是积性函数: 3.phi(a^b)=a^b-a^(b-1); 记 f(n)=∑gcd(i,n),n=p1^e1*p2^e2……; 则 f(n)=∑d*phi(n/d) (d是n的约数)           =∑(pi*ei+pi-ei)*pi^(ei-1). 代码如下: #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include&…

题意:求∑gcd(i,n),1<=i<=n思路:f(n)=∑gcd(i,n),1<=i<=n可以知道,其实f(n)=sum(p*φ(n/p)),其中p是n的因子.为什么呢?原因如下:1到n中有m个数字和n拥有公共的最大因子p,那么就需要把m*p加入答案中.问题是如何计算m的个数.因为假设某个数i与n的最大公约数为p,那么gcd(i,n) = p,可以得到gcd(i/p,n/p)=1.也就是说,有多少个i,就有多少个i/p与n/p互质.那么显然m即为n/p的欧拉函数φ(n/p). 知…

题目: Longge is good at mathematics and he likes to think about hard mathematical problems which will be solved by some graceful algorithms. Now a problem comes: Given an integer N(1 < N < 2^31),you are to calculate ∑gcd(i, N) 1<=i <=N. "Oh…

Description Longge is good at mathematics and he likes to think about hard mathematical problems which will be solved by some graceful algorithms. Now a problem comes: Given an integer N(1 < N < 2^31),you are to calculate ∑gcd(i, N) 1<=i <=N. …

/** 大意: 计算f(n) = ∑ gcd(i, N) 1<=i <=N. 思路: gcd(i,x*y) = gcd(i,x) * gcd(i, y ) 所以gcd 为积性函数 又因为积性函数的和函数 也是积性函数(具体数学,了解即可) f(n) = f(p1^a1 * p2^a2 * p3^a3*......* pn^an ) = f(p1^a1) * f(p2^a2) * f(p3* a3) ...... 现在我们先单独考虑一个 f(p1^a1) f(p^k)=1*φ(p^k)+ p*φ…

https://oj.neu.edu.cn/problem/1460 思路:若n=(p1^a1)*(p2^a2)...(pn^an),则f(n,0)=a1*a2*...*an,显然f(n,0)是积性函数,对于f(x,y)可以看出他是f(x,y-1)与自身进行狄利克雷卷积得到的结果,所以f(x,y)也是积性函数.因此,只要对n质因子分解,然后与预理出次方的dp值即可.注意积性函数的概念中a,b必须互质! #include<bits/stdc++.h> #define int long long…

令$f(x) = x^{2^{k}-1}$,我们可以在$O(k)$的时间内求出$f(x)$. 如果对$1$到$n$都跑一遍这个求解过程,时间复杂度$O(kn)$,在规定时间内无法通过. 所以需要优化. 显然这是一个积性函数,那么实际上只要对$10^{6}$以内的质数跑$O(k)$的求解过程. 而$10^{6}$以内的质数不到$8*10^{4}$个,优化之后可以通过. #include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define rep(i, a,…

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4464 简记$gcd(x,y)=(x,y)$. 推式子: $\sum_{i=1}^{n}{(i,n)^xlcm(i,n)^y}$ $=\sum_{i=1}^{n}{(i,n)^{x-y}(in)^y}$ $=n^y\sum_{d|n}d^{x-y}\sum_{i}i^y[(i,n)=d]$ $=n^y\sum_{d|n}{d^{x-y}\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}{(id)^y[(i,\frac{…