扩展Lucas定理模板题(貌似这玩意也只能出模板题了吧~~本菜鸡见识鄙薄,有待指正) 原理: https://blog.csdn.net/hqddm1253679098/article/details/82897638 https://blog.csdn.net/clove_unique/article/details/54571216 感觉扩展Lucas定理和Lucas定理的复杂程度差了不止一个档次,用到了一大堆莫名其妙的函数. 另外谁能告诉我把一个很大的组合数对一个非质数取模有什么卵用 #i…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2142 没给P的范围,但说 pi ^ ci<=1e5,一看就是扩展lucas. 学习材料:https://blog.csdn.net/clove_unique/article/details/54571216 https://www.cnblogs.com/elpsycongroo/p/7620197.html 于是打(抄)了第一份exlucas的板子.那个把 pi的倍数 和 其余部分 分开…

题目链接 答案就是C(n,m1) * C(n-m1,m2) * C(n-m1-m2,m3)...(mod p) 使用扩展Lucas求解. 一个很简单的优化就是把pi,pi^ki次方存下来,因为每次分解p都是很慢的. 注意最后p不为1要把p再存下来!(质数) COGS 洛谷上的大神写得快到飞起啊QAQ 就这样吧 3.25 Update:预处理阶乘可以很快,别忘longlong.代码见下. //836kb 288ms #include <cmath> #include <cstdio>…

题意:n件礼物,送给m个人,每人的礼物数确定,求方案数. 解题关键:由于模数不是质数,所以由唯一分解定理, $\bmod  = p_1^{{k_1}}p_2^{{k_2}}......p_s^{{k_s}}$ 然后,分别求出每个组合数模每个$p_i^{{k_i}}$的值,这里可以用扩展lucas定理求解,(以下其实就是扩展lucas定理的简略证明) 关于$C_n^m\% {p^k}$, $C_n^m = \frac{{n!}}{{m!(n - m)!}}$, 我们以$n=19,p=3,k=2$为…

1.Lucas定理 首先给出式子:\(C_n^m\%p = C_{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}^{\lfloor\frac{m}{p}\rfloor} * C_{n\%p}^{m\%p}\% p\),其中p为质数. 这里给出证明--证明是我在luogu上看到的lance1ot大佬的证明,个人认为是写的很好的,在此还要做一下补充. 首先,对于质数p,可以保证\(C_p^i(1 <= i <= p-1) \equiv 0(mod\ p)\),这个比较显然,因为组合数一定是整…

J. Ceizenpok’s formula time limit per test 2 seconds memory limit per test 256 megabytes input standard input output standard output Dr. Ceizenp'ok from planet i1c5l became famous across the whole Universe thanks to his recent discovery — the Ceizenp…

首先说下啥是lucas定理: $\binom n m \equiv \binom {n\%P} {m\%P} \times \binom{n/P}{m/P} \pmod P$ 借助这个定理,求$\binom n m$时,若$P$较小,且$n,m$非常大时,我们就可以用这个定理要降低复杂度. 但是这个定理有一些限制,比如说要求$p$是质数,遇到一些毒瘤出题人不太好应对. 当$P$不是质数时,这时就要用到一个叫做扩展lucas定理的东西. 令$P=\prod p_i^{k_i}$. 我们发现,如果对…

http://codeforces.com/gym/100633/problem/J 其实这个解法不难学的,不需要太多的数学.但是证明的话,我可能给不了严格的证明.可以看看这篇文章 http://www.cnblogs.com/jianglangcaijin/p/3446839.html   膜拜 #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <cmath> #include…

[笔记] 扩展\(Lucas\)定理 \(Lucas\)定理:\(\binom{n}{m} \equiv \binom{n/P}{m/P} \binom{n \% P}{m \% P}\pmod{P}\)\((P\ is \ prime)\) Theory 那么如果\(p\)不是一个质数怎么办? 当我们需要计算\(C_n^m\mod p\),其中\(p = p_1^{q_1}\times p_2^{q_2}\times ...\times p_k^{q_k}\),我们可以求出:\(C_n^m\e…

2142: 礼物 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 259 MBSubmit: 1294  Solved: 534[Submit][Status][Discuss] Description 一年一度的圣诞节快要来到了.每年的圣诞节小E都会收到许多礼物,当然他也会送出许多礼物.不同的人物在小E心目中的重要性不同,在小E心中分量越重的人,收到的礼物会越多.小E从商店中购买了n件礼物,打算送给m个人,其中送给第i个人礼物数量为wi.请你帮忙计算出送礼物的方案数(两个方…

2142: 礼物 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 259 MBSubmit: 1450  Solved: 593[Submit][Status][Discuss] Description 一年一度的圣诞节快要来到了.每年的圣诞节小E都会收到许多礼物,当然他也会送出许多礼物.不同的人物在小E心目中的重要性不同,在小E心中分量越重的人,收到的礼物会越多.小E从商店中购买了n件礼物,打算送给m个人,其中送给第i个人礼物数量为wi.请你帮忙计算出送礼物的方案数(两个方…

可以先做这个题[SDOI2010]古代猪文 此算法和LUCAS定理没有半毛钱关系. [模板]扩展卢卡斯 不保证P是质数. $C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$ 麻烦的是分母. 如果互质就有逆元了. 所以可以考虑把分子分母不互质的数单独提出来处理. 然鹅P太一般,直接处理要考虑的东西太多. 我们不妨令$p=p_1^{q_1}*p_2^{q_2}*...*p_k^{q_k}$ 对每一个$p_i^{q_i}$分别求解(不妨叫这个数为$pk$)(这样会容易很多) 即求ai满足:$\fr…

2142: 礼物 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 259 MBSubmit: 2286  Solved: 1009[Submit][Status][Discuss] Description 一年一度的圣诞节快要来到了.每年的圣诞节小E都会收到许多礼物,当然他也会送出许多礼物.不同的人物在小E 心目中的重要性不同,在小E心中分量越重的人,收到的礼物会越多.小E从商店中购买了n件礼物,打算送给m个人 ,其中送给第i个人礼物数量为wi.请你帮忙计算出送礼物的方案数(…

2142: 礼物 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 259 MBSubmit: 1313  Solved: 541[Submit][Status][Discuss] Description 一年一度的圣诞节快要来到了.每年的圣诞节小E都会收到许多礼物,当然他也会送出许多礼物.不同的人物在小E心目中的重要性不同,在小E心中分量越重的人,收到的礼物会越多.小E从商店中购买了n件礼物,打算送给m个人,其中送给第i个人礼物数量为wi.请你帮忙计算出送礼物的方案数(两个方…

Description 一年一度的圣诞节快要来到了.每年的圣诞节小E都会收到许多礼物,当然他也会送出许多礼物.不同的人物在小E 心目中的重要性不同,在小E心中分量越重的人,收到的礼物会越多.小E从商店中购买了n件礼物,打算送给m个人 ,其中送给第i个人礼物数量为wi.请你帮忙计算出送礼物的方案数(两个方案被认为是不同的,当且仅当存在某 个人在这两种方案中收到的礼物不同).由于方案数可能会很大,你只需要输出模P后的结果. Input 输入的第一行包含一个正整数P,表示模: 第二行包含两个整整数n和…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2142 前几天学了扩展卢卡斯定理,今天来磕模板! 这道题式子挺好推的(连我都自己推出来了) ,总之就是在 n 个里取 w[1] 个,剩下的里面再取 w[2] 个,再在剩下的里面取... 这里的模数 P 一看就不是质数啊!大组合数对合数取模,就要用到扩展卢卡斯定理了: 关于扩展卢卡斯定理,可以看这篇博客:https://blog.csdn.net/clove_unique/article/de…

4403: 序列统计 Time Limit: 3 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 328  Solved: 162[Submit][Status][Discuss] Description 给定三个正整数N.L和R,统计长度在1到N之间,元素大小都在L到R之间的单调不降序列的数量.输出答案对10^6+3取模的结果. Input 输入第一行包含一个整数T,表示数据组数.第2到第T+1行每行包含三个整数N.L和R,N.L和R的意义如题所述. Output 输出包含T…

1902: Zju2116 Christopher Time Limit: 1 Sec  Memory Limit: 64 MBSubmit: 172  Solved: 67[Submit][Status][Discuss] Description 给定n个元素,要从中间选择m个元素有多少种方案呢?答案很简单,就是C(n,m).如果一个整数m(0≤m≤n),C(n,m)是某一个质数p的倍数,那么这个m就是讨厌的数字,现在给定了p和n,求有多少个讨厌的数字. Input 第一行是一个正整数n,(1…

3782: 上学路线 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 192  Solved: 75[Submit][Status][Discuss] Description 小C所在的城市的道路构成了一个方形网格,它的西南角为(0,0),东北角为(N,M).小C家住在西南角,学校在东北角.现在有T个路口进行施工,小C不能通过这些路口.小C喜欢走最短的路径到达目的地,因此他每天上学时都只会向东或北行走:而小C又喜欢走不同的路径,因此他问你按照他走最…

(1)Lucas定理:p为素数,则有: (2)证明: n=(ak...a2,a1,a0)p = (ak...a2,a1)p*p + a0 =  [n/p]*p+a0,m=[m/p]*p+b0其次,我们知道,对任意质数p有(1+x)^p=1+(x^p)(mod p) .我们只要证明这个式子:C(n,m)=C([n/p],[m/p]) * C(a0,b0)(mod p),那么就可以用归纳法证明整个定理.对于模p而言,我们有下面的式子成立: 上式左右两边的x的某项x^m(m<=n)的系数对模p同余.其…

题意概述:多组询问,给出N,K,M,要求回答C(N,K)%M,1<=N<=10^18,1<=K<=N,2<=M<=10^6 分析: 模数不为质数只能用扩展Lucas,裸题没什么好说的. emmmmmm......知识点我就不讲了吧......(主要是我现在都还没有参透博客园怎么放公式)直接丢代码!加上了一些棒棒的优化~ #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #inc…

默默敲了一个下午,终于过了, 题目传送门 扩展Lucas是什么,就是对于模数p,p不是质数,但是不大,如果是1e9这种大数,可能没办法, 对于1000000之内的数是可以轻松解决的. 题解传送门 代码完全手写,直接写了扩展的中国剩余定理(普通的不会写) 题意:给你n,m,p 求C(n,m)%p #include<cstring> #include<cmath> #include<cstdio> #include<iostream> #include<a…

这道题是求组合数终极版. C(n,m) mod P n>=1e9 m>=1e9 P>=1e9且为合数且piqi<=1e5 拓展lucas定理. 实际上就是一点数论小知识的应用. 这篇文章对于CRT和lucas定理的学习非常不错. #include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define ll long long #define FILE "dealing" #define up(i,j,n) for(i…

题意:给定方程x1+x2+....xn=m,每个x是正整数.但是对前n1个数做了限制x1<=a1,x2<=a2...xn1<=an1,同时对第n1+1到n1+n2个数也做了限制xn1+1>=an1+1....xn1+n2>=an1+n2,输出方程解个数. 解法:首先如果对数字没有任何要求(应该是只要求是非负数)的话,答案就是C(n+m+1,m+1)原理是隔板法.但是此题有各种限制,我们想办法解决限制使得答案往无限制上面靠. 首先是解决要正整数,那么每个数字减一即可,就是m-=…

题意:有n件礼物,m个人,每个人分别需要w[i]件礼物,求分礼物的不同方案数 mod P 提示:设P=p1^c1 * p2^c2 * p3^c3 * … *pt ^ ct,pi为质数. 1≤n≤10^9,1≤m≤5,1≤pi^ci≤10^5. P不一定为质数 思路:经推导答案即为n!/(w[i]!),i=1..n 考虑P不是质数 将P分解为提示中所说的形式,可以发现所有pt^ct都是互质的,所以我们可以用下图的中国剩余定理合并 From http://blog.csdn.net/popoqqq/…

洛谷模板题面:https://www.luogu.org/problemnew/show/P4720 扩展卢卡斯被用于解决模数为合数情形下的组合数问题. 首先我们把模数mod质因数分解,解决模每个素数的幂意义下的组合数这样一个子问题,最后用crt把他们合并到一起. 那么我们现在要解决这样一个问题: \[ C(n,m) \quad mod \quad p^k \] 其中p为质数. \(p^k\)可能很大,而且性质与p不同,使用单纯的lucas解决肯定是不行了. 我们考虑把组合数拆成阶乘的形式,发现…

原文链接http://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/8110015.html 题目传送门 - BZOJ2142 题意概括 小E购买了n件礼物,送给m个人,送给第i个人礼物数量为wi.计算出送礼物的方案数模P后的结果. 设P=p1^c1 * p2^c2 * p3^c3 * … *pt ^ ct,pi为质数. 对于100%的数据,1≤n≤10^9,1≤m≤5,1≤pi^ci≤10^5. 题解 首先,我们可以列出答案: ans=∑1<=i<=n C(n,n-∑1<…

参考:http://blog.csdn.net/wzq_qwq/article/details/46709471 首先推组合数,设sum为每个人礼物数的和,那么答案为 \[ ( C_{n}^{sum}C_{sum}^{w[1]}c_{sum-w[1]}^{w[2]}... \] 设w[0]=n-sum,然后化简成阶乘的形式: \[ \frac{n!}{w[0]!w[1]!...w[n]!} \] 注意到这里p不是质数,所以把p拆成质数的方相乘的形式,最后用中国剩余定理合并即可 然后现在的问题是怎…

模非素数下的排列组合，简直凶残 调着调着就过了= = 都不知道怎么过的= = 直接上链接http://hi.baidu.com/aekdycoin/blog/item/147620832b567eb40df4d258.html CODE： #include<cstdio> #include<iostream> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace…

[国家集训队]礼物(扩展Lucas定理) 传送门可以直接戳标题 172.40.23.20 24 .1 答案就是一个式子: \[ {n\choose \Sigma_{i=1}^m w}\times\prod_{i=1}^m {\Sigma_{j=1}^m w_j-\Sigma_{j=1}^{j< i}w_j\choose w_i} \] 解释一下这个式子怎么来的... 先从所有的礼物里面选出\(\Sigma w\)出来 每个人依次选,选择的方案就是从剩下的礼物中挑出\(w_i\)个 直接扩展Luc…