本文介绍了机器学习中基本的优化算法—梯度下降算法和随机梯度下降算法,以及实际应用到线性回归.Logistic回归.矩阵分解推荐算法等ML中. 梯度下降算法基本公式 常见的符号说明和损失函数 X :所有样本的特征向量组成的矩阵 x(i) 是第i个样本包含的所有特征组成的向量x(i)=(x(i)1,x(i)2...,x(i)n) y(i) 第i个样本的label,每个样本只有一个label,y(i)是标量(一个数值) hθ(x(i)) :拟合函数,机器学习中可以用多种类型的拟合函数 θ 是函数变量,

# coding=utf-8 #共轭梯度算法求最小值 import numpy as np from scipy import optimize def f(x, *args): u, v = x a, b, c, d, e, f,g,h = args return a*u**g+ b*u*v + c*v**h + d*u + e*v + f def gradf(x, *args): u, v = x a, b, c, d, e, f,g,h = args gu = g*a*u + b*v +

L1正则化是一种常用的获取稀疏解的手段,同时L1范数也是L0范数的松弛范数.求解L1正则化问题最常用的手段就是通过加速近端梯度算法来实现的. 考虑一个这样的问题: minx  f(x)+λg(x) x∈Rn,f(x)∈R,这里f(x)是一个二阶可微的凸函数,g(x)是一个凸函数(或许不可导),如上面L1的正则化||x||. 此时,只需要f(x)满足利普希茨(Lipschitz)连续条件,即对于定义域内所有向量x,y,存在常数M使得||f'(y)-f'(x)||<=M·||y-x||,那么这个模型

一.图像梯度算法 1.图像梯度-Sobel算子 dst = cv2.Sobel(src, ddepth, dx, dy, ksize) ddepth:图像的深度 dx和dy分别表示水平和竖直方向 ksize是Sobel算子的大小 # *******************图像梯度算法**********************开始 import cv2 # import numpy as np img = cv2.imread('pie.png',cv2.IMREAD_GRAYSCALE) cv

今天介绍数值计算和优化方法中非常有效的一种数值解法,共轭梯度法.我们知道,在解大型线性方程组的时候,很少会有一步到位的精确解析解,一般都需要通过迭代来进行逼近,而 PCG 就是这样一种迭代逼近算法. 我们先从一种特殊的线性方程组的定义开始,比如我们需要解如下的线性方程组: Ax=b" role="presentation">Ax=bAx=b 这里的 A(n×n)" role="presentation" style="positi

一直以来都以为自己对一些算法已经理解了,直到最近才发现,梯度下降都理解的不好. 1 问题的引出 对于上篇中讲到的线性回归,先化一个为一个特征θ1,θ0为偏置项,最后列出的误差函数如下图所示: 手动求解 目标是优化J(θ1),得到其最小化,下图中的×为y(i),下面给出TrainSet,{(1,1),(2,2),(3,3)}通过手动寻找来找到最优解,由图可见当θ1取1时,与y(i)完全重合,J(θ1) = 0 下面是θ1的取值与对应的J(θ1)变化情况 由此可见,最优解即为0,现在来看通过梯度下降

1 问题的引出 对于上篇中讲到的线性回归,先化一个为一个特征θ1,θ0为偏置项,最后列出的误差函数如下图所示: 手动求解 目标是优化J(θ1),得到其最小化,下图中的×为y(i),下面给出TrainSet,{(1,1),(2,2),(3,3)}通过手动寻找来找到最优解,由图可见当θ1取1时,与y(i)完全重合,J(θ1) = 0 下面是θ1的取值与对应的J(θ1)变化情况 由此可见,最优解即为0,现在来看通过梯度下降法来自动找到最优解,对于上述待优化问题,下图给出其三维图像,可见要找到最优解,就

前言 在经典HS光流算法中,图像中两点间的灰度变化被假定为线性的,但实际上灰度变化是非线性的.本文详细分析了灰度估计不准确造成的偏差并提出了一种改进HS光流算法,这种算法可以得到较好的计算结果,并能明显减少光流计算的迭代次数. 经典HS光流法的误差分析 以前的梯度计算方法只考虑到了图像灰度的一阶变化率而没有考虑高阶部分,在实际应用中会导致较大误差.根据如下一般泰勒公式: (1) 假设物体没帧的位移是0.5像素,那么如果物体移动了30个像素之后,累计的误差可达 在一维情况下,该误差产生的机理如下图

补充在前:实际上在我使用LSTM为流量基线建模时候,发现有效的激活函数是elu.relu.linear.prelu.leaky_relu.softplus,对应的梯度算法是adam.mom.rmsprop.sgd,效果最好的组合是:prelu+rmsprop.我的代码如下: # Simple example using recurrent neural network to predict time series values from __future__ import division, p

前面的文章对线性回归做了一个小结,文章在这: 线性回归原理小结.里面对线程回归的正则化也做了一个初步的介绍.提到了线程回归的L2正则化-Ridge回归,以及线程回归的L1正则化-Lasso回归.但是对于Lasso回归的解法没有提及,本文是对该文的补充和扩展.以下都用矩阵法表示,如果对于矩阵分析不熟悉,推荐学习张贤达的<矩阵分析与应用>. 1. 回顾线性回归 首先我们简要回归下线性回归的一般形式: \(h_\mathbf{\theta}(\mathbf{X}) = \mathbf{X\theta

假设一个数据集有n个样本,每个样本有m个特征,样本标签y为{0, 1}. 数据集可表示为: 其中,x(ij)为第i个样本的第j个特征值,y(i)为第i个样本的标签. X矩阵左侧的1相当于回归方程的常数项. 每个特征有一个权重(或系数),权重矩阵为: 开始可以将权重均初始化为1. 将特征及权重分别相乘得到Xw (即特征的线性组合,为n维列向量). 经过Sigmoid函数处理得到预测值: y为预测值(取值范围0-1),为n维列向量. 对于一个样本i,y(i)取值为1和0的概率分别是: 其中x(i)为

Hinton的第6课,这一课中最后的那个rmsprop,关于它的资料,相对较少,差不多除了Hinton提出,没论文的样子,各位大大可以在这上面研究研究啊. 一.mini-批量梯度下降概述 这部分将介绍使用随机梯度下降学习来训练NN,着重介绍mini-批量版本,而这个也是现今用的最广泛的关于训练大型NN的方法.这里再回顾下关于一个线性神经元他的错误表面是怎样的. 这里的错误表面就是在一个空间中,水平轴是对应于NN的权重,竖直轴对应于所产生的错误的表面.对于一个误差平方的线性神经元,这个表面总是一个

本周主要介绍了梯度下降算法运用到大数据时的优化方法. 一.内容概要 Gradient Descent with Large Datasets Stochastic Gradient Descent Mini-Batch Gradient Descent Stochastic Gradient Descent Convergence Advanced Topics Online Learning Map Reduce and Data Parallelism(映射化简和数据并行) 二.重点&难点

ng机器学习视频笔记(二) --梯度下降算法解释以及求解θ (转载请附上本文链接--linhxx)   一.解释梯度算法 梯度算法公式以及简化的代价函数图,如上图所示. 1)偏导数 由上图可知,在a点,其偏导数小于0,故θ减去小于0的数,相当于加上一个数.另外,从图上可以看出,在a点不是最佳点,需要继续向右移动,即a需要增加.因此符合要求. 对于在b点,可以同理得到需要减少的结果. 2)学习速率α α表示点移动向最小值点的速率,α取值需要注意. 当值太大,每次移动的距离太长,可能导致在最小值点附

1. Gradient Descent(梯度下降) 梯度下降算法是很常用的算法,可以将代价函数J最小化.它不仅被用在线性回归上,也被广泛应用于机器学习领域中的众多领域. 1.1 线性回归问题应用 我们有一个函数J(θ0,θ1),要使其最小化minJ(θ0,θ01): Outline 对θ0,θ1开始进行一些猜测 通常将初θ0,θ1初始化为0 在梯度算法中,要做的就是不停的一点点改变θ0和θ1试图通过这种改变使得J(θ0,θ1)变小,直到找到J的最小值或者局部最小值. 1.2 梯度算法工作原理 现

在前面讲到的DQN系列强化学习算法中,我们主要对价值函数进行了近似表示,基于价值来学习.这种Value Based强化学习方法在很多领域都得到比较好的应用,但是Value Based强化学习方法也有很多局限性,因此在另一些场景下我们需要其他的方法,比如本篇讨论的策略梯度(Policy Gradient),它是Policy Based强化学习方法,基于策略来学习. 本文参考了Sutton的强化学习书第13章和策略梯度的论文. 1. Value Based强化学习方法的不足 DQN系列强化学习算法主

Logistic回归算法原理与代码实现 本文系作者原创,转载请注明出处:https://www.cnblogs.com/further-further-further/p/10033567.html 主要思想 根据现有数据对分类边界线建立回归公式,以此进行分类,其核心是通过最优化算法寻找最佳回归系数(权重系数),主要应用于二分类. 算法原理 二分类的特点是非此即彼,其数学特性符合单位阶跃函数,在某一点会发生突变.这也符合我们现实当中的一些应用场景(比如分数从0 到 60会很容易,越往上你所花的时

目录 1. 需要的微积分知识 1.1 导数 1.2 求导的链式法则 2. 梯度下降法 2.1 梯度 2.2 梯度算法的解释 3.误差反向传播算法 3.1 理论推导 3.1.1 符号说明 3.1.2 推导过程 3.2 BP算法的小结 3.3 Python实现 3.3.1 最简单三层网络 3.4 附录: 1. 需要的微积分知识 1.1 导数 对于一元函数,在导数存在的情况下,在某一点的导数,也就是该点的斜率. 对于多元函数,对于某一点求导,则需要指明方向,两个特殊的方向,1. 偏导:在坐标轴方向的导

原文:NeurIPS 2018 | 腾讯AI Lab详解3大热点:模型压缩.机器学习及最优化算法 导读 AI领域顶会NeurIPS正在加拿大蒙特利尔举办.本文针对实验室关注的几个研究热点,模型压缩.自动机器学习.机器学习与最优化算法,选取23篇会议上入选的重点论文进行分析解读,与大家分享.Enjoy! NeurIPS (Conference on Neural Information Processing Systems,神经信息处理系统进展大会)与ICML并称为神经计算和机器学习领域两大顶级学

对于multiple features 的问题(设有n个feature),hypothesis 应该改写成 \[ \mathit{h} _{\theta}(x) = \theta_{0} + \theta_{1}\cdot x_{1}+\theta_{2}\cdot x_{2}+\theta_{3}\cdot x_{3}+\dots+\theta_{n}\cdot x_{n} \] 其中: \[ x=\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\\ \vdots \\

本章节主要讲怎么确定梯度下降的工作是正确的,第二是怎么选择学习率α,如下图所示: 上图显示的是梯度下降算法迭代过程中的代价函数j(θ)的值,横轴是迭代步数,纵轴是j(θ)的值 如果梯度算法正常工作,那么每一步迭代之后,那么j(θ)值应该是每一次迭代后都会相应降低,曲线的用处在于告诉你迭代到哪一步之后,已经收敛了,比如上图迭代到400次之后,j(θ)值基本就收敛了,因为迭代函数并没有随着迭代次数降低. 另外一个方法,叫自动收敛测试,也可以很好的判断梯度下降是否已经达到了收敛,比如j(θ)值在每一步