一直都知道要用Matrix-Tree定理来解决生成树计数问题,但是拖到今天才来学.博主数学不好也只能跟着各位大佬博客学一下它的应用以及会做题,证明实在是不会. 推荐博客: https://www.cnblogs.com/zj75211/p/8039443.html (Matrix-Tree定理) https://blog.csdn.net/u011815404/article/details/99679527(无向图生成树/MST计数) https://www.cnblogs.com/yangs

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1016 从 Kruskal 算法的过程来考虑产生多种方案的原因,就是边权相同的边有一样的功能,从而带来了多种选择: 对于每一层次(边权相同)的边来说,它们最终会把图进一步连通: 所以在这一层之前缩好点,看看这一层连接出几个新连通块,对于每个连通块内部做矩阵树定理求生成树个数,再乘法原理乘起来即可: 注意高斯消元的矩阵不能直接用原图的点标号等,求行列式会出错: 疑惑:以及高斯消元 return

传送门 题意: 给定一个一边点数为n,另一边点数为m,共有n*m条边的带标号完全二分图$K_{n,m}$ 求生成树个数 1 <= n,m,p <= 10^18 显然不能暴力上矩阵树定理 看过推到完全图的生成树个数后这道题也不难做 构建出基尔霍夫矩阵,找一个主子式,所有行加起来放一行上,用这一行消消消就发现最后对角线上有$n-1$个$m$和$m-1$个$n$和$1$个$1$ 然后要用快速乘...蒟蒻第一次用快速乘... #include <iostream> using namesp

矩阵树定理 Matrix Tree ​ 矩阵树定理主要用于图的生成树计数. 看到给出图求生成树的这类问题就大概要往这方面想了. 算法会根据图构造出一个特殊的基尔霍夫矩阵\(A\),接着根据矩阵树定理,用\(A\)计算出生成树个数. 1.无向图的生成树计数 对于给定的可含重边的连通无向图\(G\),求其生成树的个数.求法如下: 定义度数矩阵\(D\):该矩阵仅在对角线上有值,\(D_{i,i}\)表示\(i\)号点的度数.对于图中每一条无向边\((u,v)\),\(D_{u,u}\)++,\(D_

Matrix_tree Theorem: 给定一个无向图, 定义矩阵A A[i][j] = - (<i, j>之间的边数) A[i][i] = 点i的度数 其生成树的个数等于 A的任意n - 1阶主子式的值. 关于定理的相关证明 可以看这篇文章, 讲得非常详细, 耐心看就能看懂: 关于求行列式, 可以用高斯消元. 如果是模域下求行列式, 可以用欧几里得算法. 具体实现看这篇文章 模域下求行列式 模板题:SPOJ DETER3 代码: #include <cstdio> #inclu

题目描述 小明有许多潜在的天赋,他希望学习这些天赋来变得更强.正如许多游戏中一样,小明也有n种潜在的天赋,但有一些天赋必须是要有前置天赋才能够学习得到的.也就是说,有一些天赋必须是要在学习了另一个天赋的条件下才能学习的.比如,要想学会"开炮",必须先学会"开枪".一项天赋可能有多个前置天赋,但只需习得其中一个就可以学习这一项天赋.上帝不想为难小明,于是小明天生就已经习得了1号天赋-----"打架".于是小明想知道学习完这n种天赋的方案数,答案对1

题目:https://www.luogu.org/problemnew/show/P4336 当作考试题了,然而没想出来,呵呵. 其实不是二分图完美匹配方案数,而是矩阵树定理+容斥... 就是先放上所有的边,求生成树个数,但其中可能有的公司的边没有选上,所以减去至少一个公司没选上的,加上两个... 高斯消元里面可以直接除而不用辗转相除,因为取模可以乘逆元,反倒是辗转相除里不能直接用除法,会减不到0. 代码如下: #include<iostream> #include<cstdio>

题面传送门 首先看到这道题你必须要有一个很清楚的认识:这题新定义的 \(\oplus\) 符号非常奇怪,也没有什么性质而言,因此无法通过解决最优化问题的思路来解决这个问题,只好按照计数题的思路来解决,即考虑 \(cnt_k\) 表示权值为 \(k\) 的生成树的个数,那么我们即求最大的满足 \(cnt_k\ne 0\) 的 \(k\). 考虑怎样维护这个东西,首先考虑一个非常 trivial 的情况,如果题目中求生成树权值的方法不是这个奇怪的 \(\oplus\) 运算而是加法怎么办.那么对于一

bzoj4596/luoguP4336 [SHOI2016]黑暗前的幻想乡(矩阵树定理,容斥) bzoj Luogu 题解时间 看一看数据范围,求生成树个数毫无疑问直接上矩阵树定理. 但是要求每条边都属于不同公司就很难直接实现. 按套路上容斥: 如果直接将几个公司的修路列表加进矩阵里的话,求出来的是"只使用"这些边的生成树个数. 很明显上容斥之后就会直接变成"只使用"且"每个都被使用"的个数. 正好符合题目要求的生成树的n-1条边分属于n-1个公

loj#6072 苹果树(折半搜索,矩阵树定理,容斥) loj 题解时间 $ n \le 40 $ . 无比精确的数字. 很明显只要一个方案不超过 $ limits $ ,之后的计算就跟选哪个没关系了. 折半搜索排序来统计有i个果子是有用的情况下的方案数. 然后矩阵树求生成树个数,容斥乱搞. #include<bits/stdc++.h> using namespace std; template<typename TP>inline void read(TP &tar)

https://vjudge.net/problem/UVA-10766 题意: 给出n, m, k.表示n个点,其中m条边不能直接连通,求生成树个数. 思路: 这也算个裸题,把可以连接的边连接起来,然后矩阵树计算一下即可. #include<iostream> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cstdio> #include<sstream> #include<vector&g

https://vjudge.net/problem/SPOJ-HIGH 题意: 给n个点m条边,求生成树个数. 思路: 矩阵树裸题. 具体的话可以看一下周冬的论文<生成树的计数及其应用>. 简单说一下,$A[ ][ ]$为邻接矩阵,有边为1(其实也就是边的个数,有重边时要注意),无边为0.$D[ ][ ]$为度数矩阵,$i=j$时为1,否则为0. $C[ ][ ]$为关联矩阵,$C[ ][ ]=D[ ][ ]-A[ ][ ]$. 最后解任意n-1阶的主子式即可. #include<io

最近集中学习了一下矩阵树定理,自己其实还是没有太明白原理(证明)类的东西,但想在这里总结一下应用中的一些细节,矩阵树定理的一些引申等等. 首先,矩阵树定理用于求解一个图上的生成树个数.实现方式是:\(A\)为邻接矩阵,\(D\)为度数矩阵,则基尔霍夫(Kirchhoff)矩阵即为:\(K = D - A\).具体实现中,记 \(a\) 为Kirchhoff矩阵,则若存在 \(E(u, v)\) ,则\(a[u][u] ++, a[v][v] ++, a[u][v] --, a[v][u] --\

1016: [JSOI2008]最小生成树计数 Description 现在给出了一个简单无向加权图.你不满足于求出这个图的最小生成树,而希望知道这个图中有多少个不同的最小生成树.(如果两颗最小生成树中至少有一条边不同,则这两个最小生成树就是不同的).由于不同的最小生成树可能很多,所以你只需要输出方案数对31011的模就可以了. Input 第一行包含两个数,n和m,其中1<=n<=100; 1<=m<=1000; 表示该无向图的节点数和边数.每个节点用1~n的整数编号.接下来的m

运用矩阵树定理进行生成树计数 给定一个n个点m条边的无向图,问生成树有多少种可能 直接套用矩阵树定理计算即可 矩阵树定理的描述如下: 首先读入无向图的邻接矩阵,u-v G[u][v]++ G[v][u]++ 度数矩阵: u-v D[u][u]++ D[v][v]++; 然后计算图G的基尔霍夫矩阵 C=D-G 接着去掉基尔霍夫矩阵的第i行和第i列(必须都是i,i取任意值) 计算剩下的子矩阵的行列式的值得绝对值即为生成树个数 然后对于有向图来说: 边 u->v G[u][v]++ 然后是D[v][v

题目背景 又到了某任*堂开关中学一年一度的自主招生考试的时间了,在考试完后许多家长决定带着自己的孩子参观一下这所距千年名校还有890周年的百年学校: 题目描述 这所学校的布局非常奇怪,是一个由N 个点M 条边构成的无向图,既然来了肯定要把学校逛完. 家长们的思路也非常清奇,带孩子走过的边刚好有n-1 条,并且这n-1 条边构成了原图的一棵生成树. 每条边上所能看到的风景有两个固定的价值A 和B ,走了这条边就只能得到这条边的A价值,而没走的边就只能得到那条边的B 价值,每个家庭最终看到的总价值的

n,m<=200,n*m的方阵,有ULRD表示在这个格子时下一步要走到哪里,有一些待决策的格子用.表示,可以填ULRD任意一个,问有多少种填法使得从每个格子出发都能走出这个方阵,答案取模.保证未确定的格子<=300. ...一脸懵逼地写了原本30实际20的暴力然后跪着啃了下论文 然而什么都没啃懂不如结论记下来: 首先矩阵行列式的定义:一个n*n的矩阵,行列式值为$\sum_{b是n的一个排列} \ \ \ \ \ ( (-1)^{b的逆序对数} \ \ \ \ \ * \prod_{i=1}^

4596: [Shoi2016]黑暗前的幻想乡 Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 559  Solved: 325[Submit][Status][Discuss] Description 四年一度的幻想乡大选开始了,最近幻想乡最大的问题是很多来历不明的妖 怪涌入了幻想乡,扰乱了幻想乡昔日的秩序.但是幻想乡的建制派妖怪(人类) 博丽灵梦和八云紫等人整日高谈所有妖怪平等,幻想乡多元化等等,对于幻想乡 目前面临的种种大问题却给不出合适的解

[LOJ#6072]苹果树(矩阵树定理,折半搜索,容斥) 题面 LOJ 题解 emmmm,这题似乎猫讲过一次... 显然先\(meet-in-the-middle\)搜索一下对于每个有用的苹果数量,满足权值小于\(lim\)的方案数 ,那么只需要考虑它们构成生成树的方案数就好了. 显然有用的可以和所有的有用的或者是坏的连边,好的但不有用的只能和坏的连边,而坏的随意. 但是这样子算出来的结果是至多,因此还需要额外容斥一下计算生成树的个数. #include<iostream> #include&

题意 给你 \(n\) 个点的无向完全图,指定一棵树 \(S\),问有多少棵生成树和这棵树的公共边数量为 \(k\in[0,n-1]\) \(n\leq 100\) 分析 考虑矩阵树定理,把对应的树边的边权设置成 \(x\) 然后构造基尔霍夫矩阵, 结果记为 \(val\) ,有 \[val=\sum_\limits{i=0}^{n-1}x^ians_i\] 其中 \(ans_i\) 表示和 \(S\) 的公共边数量为 \(i\) 的生成树的个数. 发现这是一个关于 \(x\) 的多项式,我们要

题目描述 给出 $n$ 个点和 $n-1$ 种颜色,每种颜色有若干条边.求这张图多少棵每种颜色的边都出现过的生成树,答案对 $10^9+7$ 取模. 输入 第一行包含一个正整数 N(N<=17), 表示城市个数. 接下来 N-1 行,其中第 i行表示第 i个建筑公司可以修建的路的列表: 以一个非负数mi 开头,表示其可以修建 mi 条路,接下来有mi 对数, 每对数表示一条边的两个端点.其中不会出现重复的边,也不会出现自环. 输出 仅一行一个整数,表示所有可能的方案数对 10^9 + 7 取模的