Codechef QGRID

QGRID code

给定一个 n × m(1 <= m <= 3) 的点网格，网格的边上以及点上都有权值。
初始时所有点的权值都为 0 。
维护两种操作：
1. x1 y1 x2 y2 c 把从 (x1, y1) 到 (x2, y2) 的最短路上的所有节点的权值都增加 c 。保证最短路唯一。
2. x y 询问 (x, y) 的权值。

解：

为了方便，所有编号均从 0 开始。

对于操作1，我们不妨设 x1 <= x2 。
我们先考虑 (x1, y1) 和 (x2, y2) 之间的最短路可以由哪些简单的部分构成：
1. 允许经过整个网格，(x1, y1) 经过最短路走到 (x1, p)。
2. 仅允许经过 [x1, x2] × [0, m-1] ，(x1, p) 经过最短路走到 (x2, q)。
3. 允许经过整个网格，(x2, q) 经过最短路走到 (x2, y2)。
其中 0 <= p, q < m 。

允许经过整个网络，(x, y) 走到 (x, y') 的最短路由以下几个部分构成：
1. 仅允许经过 [0, x] × [0, m-1] ，(x, y) 经过最短路走到 (x, p)。
2. 仅允许经过 [x, n-1] × [0, m-1] ，(x, p) 经过最短路走到 (x, y')。
或者
1'. 仅允许经过 [x, n-1] × [0, m-1] ，(x, y) 经过最短路走到 (x, p)。
2'. 仅允许经过 [0, x] × [0, m-1] ，(x, p) 经过最短路走到 (x, y')。
其中 0 <= p < m 。

综合以上，我们可以把 (x1, y1) 和 (x2, y2) 之间的最短路 用至多 5 个如下特殊的最短路连接起来：
仅允许经过 [L, R] × [0, m-1] ，(p) 走到 (q) 的最短路。
其中，对于确定的区间[L, R]，我们把 点(L, p) 简记为 (p)，把 点(R, q) 简记为 (q+m)。
其中，0 <= p, q < 2*m。

这样的最短路可以考虑用线段树去维护。

考虑区间[L, R]所维护的信息：
仅经过 [L, R] × [0, m-1] 之内的点，(p) 走到 (q) 的最短路长度 dis[p][q]。

假设两个区间分别是 [L, mid] 和 [mid+1, R] ，如何合并两个区间的答案见如下代码：

 void get(int k, int L, int R, int x, int y, node *res)
 {
     if (L == x && R == y)
     {
         memcpy(&res[k], &tree[k], sizeof(node));
         return;
     }
     int mid = (L+R)/;
     if (y <= mid)
     {
         get(k<<, L, mid, x, y, res);
         memcpy(&res[k], &res[k<<], sizeof(node));
     }
     else if (x > mid)
     {
         get(k<<|, mid+, R, x, y, res);
         memcpy(&res[k], &res[k<<|], sizeof(node));
     }
     else
     {
         get(k<<, L, mid, x, mid, res);
         get(k<<|, mid+, R, mid+, y, res);
         for (int i = ; i < m; ++ i)
             for (int j = i+; j < m; ++ j)
             {
                 res[k].dis[i][j] = res[k<<].dis[i][j];
                 res[k].dis[i+m][j+m] = res[k<<|].dis[i+m][j+m];
                 for (int p = ; p < m; ++ p)
                     for (int q = ; q < m; ++ q) if (p != q)
                     {
                         res[k].dis[i][j] = min(res[k].dis[i][j], res[k<<].dis[i][p+m]+res[k<<|].dis[p][q]+res[k<<].dis[j][q+m]+rc[mid][p]+rc[mid][q]);
                         res[k].dis[i+m][j+m] = min(res[k].dis[i+m][j+m], res[k<<|].dis[p][i+m]+res[k<<].dis[p+m][q+m]+res[k<<|].dis[q][j+m]+rc[mid][p]+rc[mid][q]);
                     }
                 res[k].dis[j][i] = res[k].dis[i][j];
                 res[k].dis[j+m][i+m] = res[k].dis[i+m][j+m];
             }
         for (int i = ; i < m; ++ i)
             for (int j = ; j < m; ++ j)
             {
                 res[k].dis[i][j+m] = INF;
                 for (int p = ; p < m; ++ p)
                     res[k].dis[i][j+m] = min(res[k].dis[i][j+m], res[k<<].dis[i][p+m]+res[k<<|].dis[p][j+m]+rc[mid][p]);
                 if (m == )
                 {
                     for (int p = ; p < m; ++ p)
                         for (int q = ; q < m; ++ q) if (p != q)
                             res[k].dis[i][j+m] = min(res[k].dis[i][j+m], res[k<<].dis[i][p+m]+res[k<<|].dis[p][q]+res[k<<].dis[q+m][(-p-q)+m]+res[k<<|].dis[(-p-q)][j+m]+rc[mid][]+rc[mid][]+rc[mid][]);
                 }
                 res[k].dis[j+m][i] = res[k].dis[i][j+m];
             }
     }
 }

get

当我们得到了 (x1, y1) 和 (x2, y2) 之间的最短路长度之后，剩下的部分就是找到最短路具体是哪一条路。

注意到，任何一段最短路都能被分割成 O(log n) 段单个区间内两端点 (p) 和 (q) 的最短路。

寻找具体最短路的代码：

 void go_path(int k, int L, int R, int x, int y, node *res, int p, int q, ull c)
 {
     if (L == x && R == y)
     {
         Tree[depth[k]][q].add(p < m ? place(L, p) : place(R, p-m), c);
         return;
     }
     int mid = (L+R)/;
     if (y <= mid)
         go_path(k<<, L, mid, x, y, res, p, q, c);
     else if (x > mid)
         go_path(k<<|, mid+, R, x, y, res, p, q, c);
     else
     {
         if (p < m && q < m)
         {
             if (res[k].dis[p][q] == res[k<<].dis[p][q])
             {
                 go_path(k<<, L, mid, x, mid, res, p, q, c);
                 return;
             }
             for (int pp = ; pp < m; ++ pp)
                 for (int qq = ; qq < m; ++ qq)
                     if (res[k].dis[p][q] == res[k<<].dis[p][pp+m]+res[k<<|].dis[pp][qq]+res[k<<].dis[q][qq+m]+rc[mid][pp]+rc[mid][qq])
                     {
                         go_path(k<<, L, mid, x, mid, res, p, pp+m, c);
                         go_path(k<<|, mid+, R, mid+, y, res, pp, qq, c);
                         go_path(k<<, L, mid, x, mid, res, q, qq+m, c);
                         return;
                     }
         }
         else if (p >= m && q >= m)
         {
             if (res[k].dis[p][q] == res[k<<|].dis[p][q])
             {
                 go_path(k<<|, mid+, R, mid+, y, res, p, q, c);
                 return;
             }
             for (int pp = ; pp < m; ++ pp)
                 for (int qq = ; qq < m; ++ qq)
                     if (res[k].dis[p][q] == res[k<<|].dis[pp][p]+res[k<<].dis[pp+m][qq+m]+res[k<<|].dis[qq][q]+rc[mid][pp]+rc[mid][qq])
                     {
                         go_path(k<<|, mid+, R, mid+, y, res, pp, p, c);
                         go_path(k<<, L, mid, x, mid, res, pp+m, qq+m, c);
                         go_path(k<<|, mid+, R, mid+, y, res, qq, q, c);
                         return;
                     }
         }
         else
         {
             if (p > q) swap(p, q);
             for (int r = ; r < m; ++ r)
                 if (res[k].dis[p][q] == res[k<<].dis[p][r+m]+res[k<<|].dis[r][q]+rc[mid][r])
                 {
                     go_path(k<<, L, mid, x, mid, res, p, r+m, c);
                     go_path(k<<|, mid+, R, mid+, y, res, r, q, c);
                     return;
                 }
             if (m == )
             {
                 for (int pp = ; pp < m; ++ pp)
                     for (int qq = ; qq < m; ++ qq) if (pp != qq)
                         if (res[k].dis[p][q] == res[k<<].dis[p][pp+m]+res[k<<|].dis[pp][qq]+res[k<<].dis[qq+m][(-pp-qq)+m]+res[k<<|].dis[(-pp-qq)][q]+rc[mid][]+rc[mid][]+rc[mid][])
                         {
                             go_path(k<<, L, mid, x, mid, res, p, pp+m, c);
                             go_path(k<<|, mid+, R, mid+, y, res, pp, qq, c);
                             go_path(k<<, L, mid, x, mid, res, qq+m, (-pp-qq)+m, c);
                             go_path(k<<|, mid+, R, mid+, y, res, -pp-qq, q, c);
                             return;
                         }
             }
         }
     }
 }

go_path

我们对每个区间 [L, R] 可以先预处理出 以 (p) 为源的最短路树（如果不唯一则取任意一个，由于题目保证了最短路唯一，所以那些不唯一的部分一定不会出现在最短路中），其中0 <= p < 2*m。
而对于每一段单个区间的 (p) 和 (q) 的最短路，在这一段路中的每个点的权值都增加 c ，可以看做是区间[L, R]内，【以 (p) 为根的最短路树中，(q)到根之间所有节点增加 c】。

此时我们考虑询问，(x, y)的权值可以表示成若干个（至多O(log n)个）区间的增量之和，即若干个形如 【在某棵树中某节点的权值】 之和。

于是，我们只需要维护两个树上的操作：
1. 根到某个节点之间的一条链整体增加一个数；
2. 询问某个节点的值。

预处理出每个区间的每一棵最短路树的DFS序后，接下来的问题就变成了：维护一个数列，
1'. 区间增加一个数；
2'. 单点询问。

这个问题可以用线段树或者树状数组解决。

综合以上，整个算法的时间复杂度为 $O(n m^2 \log^2 n + q (m^4 \log n + m^2 \log^2 n) )$ 。