[离散时间信号处理学习笔记] 9. z变换性质

z变换描述

$x[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow}X(z) ,\quad ROC=R_x$

序列$x[n]$经过z变换后得到复变函数$X(z)$，该函数的收敛域为$R_x$

线性

z变换的线性性质

$ax_1[n]+bx_2[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} aX_1(z)+bX_2(z),\quad ROC\ contains\ R_{x_1}\cap R_{x_2}$

证明：

$\begin{align*}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(ax_1[n]+bx_2[n])z^{-n}
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}ax_1[n]z^{-n}+\sum_{n=-\infty}^{\infty}ax_2[n]z^{-n}\\
&=aX_1(z)+bX_2(z)
\end{align*}$

$X_1(z)$以及$X_2(z)$的收敛域分别为$R_{x_1}$以及$R_{x_2}$，不过他们两个组合后可能会使得某些极点被消除，即线性组合后的z变换的收敛域与相交收敛域相比，可能会多出这些可能被消除的极点，所以这里用“包含（contains）”。

时移

z变换的时移性质

$x[n-n_0]\stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} z^{-n_0}X(z),\quad ROC=R_x$

证明：

$\begin{align*}\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n-n_0]z^{-n}
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]z^{-(m+n_0)}\quad letting\ m=n-n_0\\
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]z^{-m}z^{-n_0}\\
&=z^{-n_0}X(z)
\end{align*}$

指数相乘

指数相乘性质

$z_0^nx[n]\stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow}X\left(\frac{z}{z_0}\right),\quad ROC=|z_0|R_x $

证明：

$\begin{align*}\sum_{n=-\infty}^{\infty}z_0^nx[n]z^{-n}
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\left(\frac{z}{z_0}\right)^{-n}\\
&=X\left(\frac{z}{z_0}\right)
\end{align*}$

微分

微分性质

$nx[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} –z\frac{dX(z)}{dz},\quad ROC=R_x$

证明：

$\begin{align*}\sum_{n=-\infty}^{\infty}nx[n]z^{-n}
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}nx[n]z^{-n}\\
&=-z\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-n)x[n]z^{-n-1}\\
&=-z\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{d\left(x[n]z^{-n}\right)}{dz}\\
&=-z\frac{d\left(\displaystyle{\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}}\right)}{dz}\\
&=-z\frac{dX(z)}{dz}
\end{align*}$

共轭

共轭性质

$x^*[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} X^{*}(z^*),\quad ROC=R_x$

证明：

$\begin{align*}
\sum_{n=-\infty}^{\infty}x^*[n]z^{-n}
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(|x[n]|cos\angle x[n]-i|x[n]|sin\angle x[n])[|z^{-n}|cos\angle (z^{-n})+i|z^{-n}|sin\angle(z^{-n})]\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|(cos \phi - isin\phi)|z^{-n}|[cos(-n\theta)+isin(-n\theta)] \quad letting\ \phi=\angle x[n],\theta=\angle (z)\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]z^{-n}|{(cos\phi cos(-n\theta)+sin\phi sin(-n\theta)]+i[cos\phi sin(-n\theta)-sin\phi cos(-n\theta)]}\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]z^{-n}|[cos(\phi+n\theta)+isin(-n\theta-\phi)]\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]z^{-n}|[cos(\phi+n\theta)-isin(n\theta+\phi)]\\
\end{align*}$

又已知

$\displaystyle{\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]z^{-n}|[cos(\phi-n\theta)+isin(\phi-n\theta)]}$

对比两个式子的结果，得证。

时间倒置

时间倒置性质

$x[-n]\stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow}X\left( \frac{1}{z} \right),\quad ROC=\frac{1}{R_x}$

证明：

$\begin{align*}
\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[-n]z^{-n}
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]z^{m}\quad letting\ m=-n\\
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]\left( \frac{1}{z}\right )^m\\
&=X\left(\frac{1}{z} \right )
\end{align*}$

卷积

卷积性质

$x_1[n]*x_2[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow}X_1(z)X_2(z),\quad ROC\ contains\ R_{x_1}\cap R_{x_2}$

证明：

$\begin{align*}
\sum_{n=-\infty}^{\infty}(x_1[n]*x_2[n])z^{-n}
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty}x_1[k]x_2[n-k]\right)z^{-n}\\
&= \sum_{k=-\infty}^{\infty}x_1[k]\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_2[n-k]z^{-n} \right )\\
&= \sum_{k=-\infty}^{\infty}x_1[k]\left(\sum_{m=-\infty}^{\infty}x_2[m]z^{-m-k} \right )\quad letting\ m=n-k \\
&= \left(\sum_{k=-\infty}^{\infty}x_1[k]z^{-k} \right )\left(\sum_{m=-\infty}^{\infty}x_2[m]z^{-m} \right )\\
&= X_1(z)X_2(z)
\end{align*}$