2020牛客寒假算法基础集训营6 I.导航系统 (最小生成树)

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/3007/I

题中给定的图必定是一棵树　　　　

容易发现，如果将输入的N(N-1)个距离看做N(N-1)条无向边的话，那么如果数据合法，原树就是这张新图的最小生成树。

证明：由于边权是非负的，可以考虑Kruskal算法的过程，每一次引入的边都是尽可能短的，所以一定是树中的边，通过简单的归纳即证。

 

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int maxn = ;
 int n,m,s,cnt;
 struct edge{
     int from,to,w;
     bool operator < (const edge &b) const{
         return w < b.w;
     }
 }e[maxn*maxn];
 struct node{
     int u,v,w;
     bool operator < (const node &b) const{
         return w<b.w;
     }
 };
 struct Node{
     vector<int> v;
     vector<int> w;
 }g[maxn];
 int fa[maxn],dis[maxn][maxn];
 vector<node> ans;
 int get(int x){
     if(x == fa[x]) return x;
     return fa[x] = get(fa[x]);
 }
 void merge(int x,int y){
     int u = get(x),v = get(y);
     if(u == v) return;
     fa[u] = v;
 }
 void kruskal(){
     sort(e+,e++m);
     for(int i = ;i<=n;i++) fa[i] = i;
     for(int i = ;i<=m;i++){
         int x = get(e[i].from );
         int y = get(e[i].to );
         if(x == y) continue;
         merge(x,y);
         ans.push_back({e[i].from,e[i].to,e[i].w});
     }
 }
 void addedge(int x,int y,int c){
     e[cnt].from = x,e[cnt].to = y,e[cnt].w = c;
     cnt++;
 }
 int vis[maxn],siz[maxn];
 void dfs(int cur,int pos){//只需求出一个点到各个点的最小距离即可进行判断
     vis[cur] = ;
     siz[cur] = pos;
     for(int i = ;i<g[cur].v.size();i++){
         int v = g[cur].v[i];
         if(!vis[v]) dfs(v,pos+g[cur].w[i]);
     }
 }
 int main(){
     cin>>n;
     m = n*(n-),cnt = ;;
     for(int i = ;i<=n;i++){
         for(int j = ;j<=n;j++){
             cin>>dis[i][j];
             if(i == j) continue;
             addedge(i,j,dis[i][j]);
         }
     }
     kruskal();
     for(int i = ;i<ans.size();i++){//建一个新图
         node t = ans[i];
         g[t.u].v.push_back(t.v);
         g[t.v].v.push_back(t.u);
         g[t.u].w.push_back(t.w);
         g[t.v].w.push_back(t.w);
     }
     for(int i = ;i<=n;i++){
         if(g[i].v.size() ==  ) {
             s = i;break;
         }
     }
     dfs(s,);
     for(int i = ;i<=n;i++){
         if(siz[i]!=dis[s][i]){
             cout<<"No";return ;
         }
     }
     sort(ans.begin(),ans.end());
     cout<<"Yes"<<endl;
     for(int i = ;i<ans.size();i++){
         cout<<ans[i].w<<endl;
     }
     return ;
 }