AtCoder3857：Median Sum （Bitset优化背包&&对称性求中位数）

Median Sum

You are given N integers A₁, A₂, ..., A_N.

Consider the sums of all non-empty subsequences of A. There are 2^N−1 such sums, an odd number.

Let the list of these sums in non-decreasing order be S₁, S₂, ..., S_2^N−1.

Find the median of this list, S_2^N−1.

Constraints

• 1≤N≤2000
• 1≤A_i≤2000
• All input values are integers.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

N
A1 A2 … AN

Output

Print the median of the sorted list of the sums of all non-empty subsequences of A.

Sample Input 1

3
1 2 1

Sample Output 1

2

In this case, S=(1,1,2,2,3,3,4). Its median is S₄=2.

Sample Input 2

1
58

Sample Output 2

58

In this case, S=(58).

题意：给定N个数，有2^N-1种非空组合，求这些组合的和排序后的中位数。

思路：由对称性，知道中位数略大于Sum/2，所以我们从（Sum+1）/2后面所有的可能中，选择最近的一个。（证明见下面。）

具体实现：需要得到背包结果有哪些可能性，这个只需要Bitset加速一下即可得到。

证明：见前辈写的，很清晰，只要利用对称性即可。ZZZZone

#include<bitset>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=;
bitset<maxn*maxn+>s;
int main()
{
    int N,x,ans;
    while(~scanf("%d",&N)){
        s.reset(); ans=;
        s[]=;
        for(int i=;i<=N;i++){
            scanf("%d",&x);
            s|=(s<<x);
            ans+=x;
        }
        for(int i=(ans+)/;;i++){
            if(s[i]){
               printf("%d\n",i);
               break;
            }
        }
    }
    return ;
}