#10072. 「一本通 3.2 例 1」Sightseeing Trip(floyd求最小环+路径)

https://loj.ac/problem/10072

针对无向图

因为Floyd是按照结点的顺序更新最短路的，所以我们在更新最短路之前先找到一个连接点k，当前的点k肯定不存在于已存在的最短路f[i][j]的路径上，因为我们还没用这个k去更新最短路，相当于 （i -> k -> j -> j到i的最短路 -> i）这样一个环就找到了，接下来我们要记录路径，用path[i][j]表示在最短路i到j的路径上j的前一个结点，所以我们在更新最短路时也要更新这个点，原来的最短路是i -> j，现在变成了 i -> k -> j，所以有per[i][j] = pre[k][j]，因为要找最小环，所以不断更新找到环的权值，环更新一次，路径也要更新一次，路径更新时根据pre数组迭代一下就ok了

附上图片加深理解

 #include <bits/stdc++.h>
 #define read read()
 #define up(i,l,r) for(register int i = (l);i <= (r);i++)
 #define down(i,l,r) for(register int i = (l);i >= (r);i--)
 #define traversal_vedge(i) for(register int i = head[u]; i ;i = e[i].nxt)
 #define ll long long
 using namespace std;
 int read
 {
     int x = , f = ; char ch = getchar();
     while(ch <  || ch > ) {if(ch == '-')f = -; ch = getchar();}
     while(ch >= && ch <=) {x =  * x + ch - ;ch = getchar();}
     return x * f;
 }
 void write(int x)
 {
     if(x < ) x = -x,putchar('-');
     if(x > ) write(x/);
     putchar(x% + );
 }
 //-------------------------------------------------
 const int N = ,INF = 0xfffffff;//debug 1e9+7 -> 0xffffff//极大值要开大
 int n,m;
 int f[N][N],e[N][N],pre[N][N],path[N];
 //f ,e
 int min_ring,cnt;
 void init()
 {
     up(i,,n)
         up(j,,n)
         {
             f[i][j] = INF;
             e[i][j] = INF;
             pre[i][j] = i;//i -> j最短路径上j的前一个节点;
             //初始化;
         }
 }

 void readdata()
 {
     n = read; m = read;
     init();
     up(i,,m)
     {
         int u = read,v = read, w = read;
         f[u][v] = f[v][u] = e[u][v] = e[v][u] = min(w,f[u][v]);
         //重边中取最小;
     }
 }

 void floyd()
 {
     min_ring = INF;
     up(k,,n)
     {
         //求环
         up(i,,k-)//k不在i->j上;//这里的k是与i,j相连的;
         {
             up(j,,i-) //无向图利用对称性//?
             {
                 if(f[i][j] + e[i][k] + e[k][j] < min_ring)
                 {
                     min_ring = f[i][j] + e[i][k] + e[k][j];
                     cnt = ;
                     int tmp = pre[i][j];
                     while(tmp != i)
                     {
                         path[++cnt] = tmp;
                         tmp = pre[i][tmp];
                     }
                     path[++cnt] = i;
                     path[++cnt] = k;
                     path[++cnt] = j;
                 }
             }
         }
         //------------------------
         //求最短路;//这里的k是中转点(在i->j的最短路上)
         up(i,,n)
             up(j,,n)
             {
                 if(f[i][k] + f[k][j] < f[i][j])
                 {
                     f[i][j] = f[i][k] + f[k][j];
                     //pre[i][j]表示i到j最短路径上j前面的一个点
                     //所以此时i到j的最短路径上j前一个点为k到j最短路径上j的前一个点
                     pre[i][j] = pre[k][j];
                 }
             }
     }
 }

 void write_ans()
 {
     if(min_ring == INF) printf("No solution.\n");
     else up(i,,cnt) write(path[i]),putchar(' ');
 }

 int main()
 {
     freopen("input.txt","r",stdin);
     readdata();
     floyd();
     write_ans();
     return ;
 }