【[AHOI2012]树屋阶梯】

卡特兰数！

至于为什么是卡特兰数，就稍微说那么一两句吧

对于一个高度为\(i\)的阶梯，我们可以在左上角填一个高度为\(k\)的阶梯，右下角填一个高度为\(i-1-k\)的阶梯剩下的我们用一个大的长方形填上就可以啦

比如这个样子

之后还需要高精，但是为了简单好写，这里可以分解质因数，之后就变成另一个单精度乘高精了

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define LL long long
#define re register
#define maxn 1005
inline int read()
{
	char c=getchar();
	int x=0;
	while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9')
		x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();
	return x;
}
int n,f[maxn],p[maxn];
int to[maxn],num[maxn];
int a[10005];
int L;
inline void mul(int x)
{
	for(re int i=1;i<=L;i++)
		a[i]*=x;
	for(re int i=1;i<=L;i++)
		a[i+1]+=a[i]/10,a[i]%=10;
	int now=L;
	while(1)
	{
		a[now+1]+=a[now]/10;
		a[now]%=10;
		now++;
		if(!a[now]) break;
	}
	L=now-1;
}
int main()
{
	n=read();
	f[1]=1;
	for(re int i=2;i<=2*n;i++)
	{
		if(!f[i]) p[++p[0]]=i,to[i]=p[0],num[p[0]]++;
		for(re int j=1;j<=p[0]&&p[j]*i<=2*n;j++)
		{
			f[p[j]*i]=1;
			if(i%p[j]==0) break;
		}
	}
	for(re int i=2;i<=2*n;i++)
	{
		if(!f[i]) continue;
		int up=std::sqrt(i);
		int now=i;
		for(re int j=1;j<=p[0]&&p[j]<=up;j++)
		{
			while(now%p[j]==0) now/=p[j],num[j]++;
			if(now==1) break;
		}
		if(now!=1) num[to[now]]++;
	}
	L=1,a[1]=1;
	for(re int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!f[i])
		{
			num[to[i]]-=2;
			continue;
		}
		int up=std::sqrt(i);
		int now=i;
		for(re int j=1;j<=p[0]&&p[j]<=up;j++)
		{
			while(now%p[j]==0) now/=p[j],num[j]-=2;
			if(now==1) break;
		}
		if(now!=1) num[to[now]]-=2;
	}
	int now=n+1;
	int up=std::sqrt(n+1);
	for(re int j=1;j<=p[0]&&p[j]<=up;j++)
	{
		while(now%p[j]==0) now/=p[j],num[j]--;
		if(now==1) break;
	}
	if(now!=1) num[to[now]]--;
	for(re int i=1;i<=p[0];i++)
		while(num[i]) mul(p[i]),num[i]--;
	for(re int i=L;i;i--)
		printf("%d",a[i]);
	return 0;
}