BZOJ 2876 骑行川藏

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拉格朗日乘数法:f'+入g'=0，f为函数的导数，g为限制条件的导数。

思路:E=Σki*si*(vi-vi')^2，贪心可知，当E=Eu时，才能得到最优解。

我们假设函数f=Σsi/vi,限制g=Σki*si*(vi-vi')^2=E

根据拉格朗日乘数法，f'+入g'=0,

g'=2*ki*si*(vi-vi')

f'=-si/(vi^2)

可得-si/(vi^2)+2*入*ki*si*(vi-vi')=0

即2*入*ki*(vi^2)*(vi-vi')=1

由于入与vi负相关，且vi与E正相关，因此入与E负相关，因此满足单调，二分入的值，判断解是否等于E

2*入*ki*(vi^2)*(vi-vi')-1=0中，(vi^2)*（vi-vi')关于vi单调递增（vi>0)，也可以通过二分来找方程的根。

 #include<algorithm>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 const double eps=1e-;
 const double inf=1e9;
 double ans[],k[],v[],s[],E;
 int n;
 double calc(int x,double Mid){
     double l=std::max(0.0,v[x]),r=inf;
     while (r-l>eps){
         double mid=(l+r)/;
         if (mid*mid**Mid*k[x]*(mid-v[x])->) r=mid;
         else l=mid;
     }
     return l;
 }
 double sqr(double x){
     return x*x;
 }
 double work(double mid){
     for (int i=;i<=n;i++)
      ans[i]=calc(i,mid);
     double res=;
     for (int i=;i<=n;i++)
       res+=s[i]*k[i]*(sqr(v[i]-ans[i]));
     return res;
 }
 int main(){
     scanf("%d",&n);scanf("%lf",&E);
     for (int i=;i<=n;i++){
         scanf("%lf%lf%lf",&s[i],&k[i],&v[i]);
     }
     double l=,r=1e9;
     while (r-l>eps){
         double mid=(l+r)/;
         if (work(mid)>E) l=mid;
         else r=mid;
     }
     double Ans=;
     for (int i=;i<=n;i++)
      Ans+=s[i]/ans[i];
     printf("%.8f\n",Ans);
 }