DP 贪心【p2134】百日旅行

Background

重要的不是去哪里，而是和你在一起。——小红

对小明和小红来说，2014年7月29日是一个美好的日子。这一天是他们相识100天的纪念日。

（小明：小红，感谢你2场大考时默默的支持，100个日夜的陪伴；感谢你照亮我100个美好的日子，给我留下无数美好的回忆……在这个美好的日子里，我准备带你去旅行。）

Description

小明和小红还剩下N天的假期，小明可以安排旅行的计划。如果连续X天旅游，小明需要花旅行费用PXX元；如果连续X天不旅游，小明需要请小红吃饭，花费为Q*X元。（P,Q都是输入的常数）

请你帮小明写一个程序，计算出假期里他至少需要花费多少元。

Input

一行，3个空格隔开的正整数N，P，Q。

Output

一行，一个正整数表示小明至少需要花费多少元。

很明显,这题可以\(DP\)做.

首先,由于我们需要考虑连续有多少天旅游或吃饭.

所以我们可以很容易想到一个\(O(n^2)\)的\(DP\)

设\(f[i]\)代表连续旅游到第\(i\)天的最小花费.

\(g[i]\)代表连续吃饭到第\(i\)天的最小花费.

转移也是很好想的.(我们可以选择在当前第\(i\)天停止旅游或吃饭)

\[f[i]=min(f[i],g[j]+(i-j)^2 \times p) \\ g[i]=min(g[i],f[j]+(i-j)\times q)
\]

代码

memset(f,0x3f,sizeof f);
memset(g,0x3f,sizeof g);
f[0]=g[0]=0;
for(R int i=1;i<=n;i++)
	for(R int j=0;j<i;j++)
	{
		f[i]=min(f[i],g[j]+(i-j)*(i-j)*p);
		g[i]=min(g[i],f[j]+(i-j)*q);
	}

然后这样的话,我们可以得到\(90pts\)

但是谁不想试一下满分做法?

正解是斜率优化,我不会QAQ

因此考虑贪心做法.

由于请小红吃饭的代价为\(q \times x\)

此时若\(x\)已知则代价也已知。

因此考虑枚举\(x\),即请小红吃饭的天数.

由于不连续的请小红吃饭会比较便宜,所以我们考虑先带她旅游再在中途请她吃饭.

即用吃饭的天数\(i\)，将旅游的天数\(n-i\)分成\(i+1\)块.

此时考虑均值不等式,发现均分的时候总花费会最小.

所以考虑均分即可.

代码

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<iostream>
#include<cstring>
#define N 1008
#define R register
using namespace std;
inline void in(int &x)
{
	int f=1;x=0;char s=getchar();
	while(!isdigit(s)){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
	while(isdigit(s)){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
	x*=f;
}
//int f[N],g[N],n,p,q;
int n,p,q,ans=2147483647LL;
inline int calc(int sum,int sd)
{
	int x=sum/sd,y=sum%sd;
	return x*x*(sd-y)*p+(x+1)*(x+1)*y*p;
}
int main()
{
	in(n),in(p),in(q);
	if(q<=p)
	{
		printf("%d",q*n);
		return 0;
	}
	for(R int i=0;i<=n;i++)
	{
		int res=n-i,j=i+1;
		ans=min(ans,i*q+calc(res,j));
	}
	printf("%d",ans);
}