DFS（三）：八皇后问题

【例1】八皇后问题。

在一个8×8国际象棋盘上，放置8个皇后，每个皇后占一格，要求皇后间不会出现相互“攻击”的现象，即不能有两个皇后处在同一行、同一列或同一对角线上。问共有多少种不同的放置方法？

（1）编程思路。

在八皇后问题中，由于任意两个皇后不同行，因此可以将布局表示为一维数组chess[8]。数组的下标i表示棋盘上的第i行，chess[i]的值表示皇后在第i行所放的位置。如chess[1]=5，表示在棋盘的第1行的第5列放一个皇后。

为了寻找满足要求的布局chess，可依次产生部分布局(chess[0])，(chess[0]、chess[1])，…，直至最后产生出完整布局(chess[0]、chess[1]、…、chess[7])。每一步都要求保证它们是在不同列和不同对角线上。可采用深度优先搜索算法完成。

（2）源程序。

#include <iostream>

using namespace std;

void show_chess(void);

int check(int n);

void putchess(int n);

int chess[8];

int main()

{

cout<<"All Results are :"<<endl;

putchess(0);

return 0;

}

// 递归函数：在从第n行开始放皇后

void putchess(int n)

{

int i;

if (n<8)

{

for (i = 0; i <8; i++)      // 将第n行从第一格(i)开始往下放

{

chess[n] = i;

if (check(n) == 1)       // 若可放，则检查是否放满

{

if (n == 7)

show_chess();     // 若已放满到8行时，则表示找出一种解，打印出来

else

putchess(n + 1);   // 若没放满则放下一行 putchess(n+1)

}

}

}

}

// 根据前面几行的子，检查第n行所放的皇后是否合法

int check(int n)

{

int i;

for (i = 0; i <= n - 1; i++)

if (chess[n] == chess[i] + (n - i) ||chess[n] == chess[i] - (n - i) ||chess[n] == chess[i] )

return 0;

return 1;

}

// 函数：打印结果

void show_chess(void)

{

static int count = 0;

cout<<"************* 第"<<++count<<"种 *************"<<endl;

for(int i=0; i<8; i++)

{

for(int j=0; j<8; j++)

if (j==chess[i]) cout<<"1 ";

else  cout<<"0 ";

cout<<endl;

}

}

【例2】棋盘问题（POJ 1321）。
Description

在一个给定形状的棋盘（形状可能是不规则的）上面摆放棋子，棋子没有区别。要求摆放时任意的两个棋子不能放在棋盘中的同一行或者同一列，请编程求解对于给定形状和大小的棋盘，摆放k个棋子的所有可行的摆放方案C。
Input

输入含有多组测试数据。
每组数据的第一行是两个正整数，n k，用一个空格隔开，表示了将在一个n*n的矩阵内描述棋盘，以及摆放棋子的数目。 n <= 8 , k <= n
当为-1 -1时表示输入结束。
随后的n行描述了棋盘的形状：每行有n个字符，其中 # 表示棋盘区域， . 表示空白区域（数据保证不出现多余的空白行或者空白列）。
Output

对于每一组数据，给出一行输出，输出摆放的方案数目C （数据保证C<2^31）。
Sample Input

2 1
#.
.#
4 4
...#
..#.
.#..
#...
-1 -1
Sample Output

2
1

（1）编程思路。

在棋盘问题中，棋子摆放的位置只能是“#”, 且不能同行和同列。由于在深度优先搜索中采用按行递增的顺序来搜索的，这样每次递归下一行，所以每一行不会有冲突，不可能出现同行的情况。只需保证不同列，为判断某一列上是否有其他棋子，可定义一个数组visit[]来保存列的访问状态，visit[i]=true表示第i列上放置有棋子；visit[i]=false表示第i列上未放置棋子。

（2）源程序1。

#include <iostream>

using namespace std;

bool visit[20];

char map[20][20];

int ans,k,n;    // ans表示方案数,k表示棋子数目,n表示棋盘的大小

void DFS(int row,int num)   // 逐行搜索，row为当前搜索行，num为已填充的棋子数

{

if(num>=k)   // 判断是否棋子已经放完，如果放完，记录方案数加1

{

ans++;

return;

}

for(int i=row;i<n;i++)

{

for(int j=0;j<n;j++)

{

if(!visit[j] && map[i][j]=='#')  // 如果该列没放棋子且该位置为棋盘，那么在这里放上棋子

{

visit[j]=true;             // 标记该列上有棋子

DFS(i+1,num+1);   // 搜索下一行放下一个棋子

visit[j]=false;           // 修改标记后递归回来要及时复原

}

}

}

}

int main()

{

int i;

while (cin>>n>>k)

{

if (n==-1&&k==-1)

break;

for (i=0;i<n;i++)

visit[i]=false;

for (i=0;i<n;i++)

cin>>map[i];

ans=0;

DFS(0,0);

cout<<ans<<endl;

}

return 0;

}

（3）源程序2。

#include <iostream>
using namespace std;
bool visit[20];
char map[20][20];
int ans,k,n;   // ans表示方案数,k表示棋子数目,n表示棋盘的大小
void DFS(int row,int num)    // 逐行搜索，row为当前搜索行，num为已填充的棋子数
{
    if(num==k)
   {
       ans++;
       return;
    }
    if (row>=n) return ;
    for(int j=0;j<n;j++) // 当前行放一个棋子
    {
        if(!visit[j] && map[row][j]=='#')
       {
           visit[j]=true;
           DFS(row+1,num+1);
           visit[j]=false;
        } 
     }
    DFS(row+1,num); // 当前行不放棋子
}
int main()
{
     int i;
     while (cin>>n>>k)
     {
         if (n==-1&&k==-1)
             break;
         for (i=0;i<n;i++)
             visit[i]=false;
         for (i=0;i<n;i++)
             cin>>map[i];
         ans=0;
        DFS(0,0);
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}