poj2407

欧拉函数裸题。

欧拉函数：在数论，对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。

欧拉函数的定义: E（N）= (  区间[1,N-1] 中与 N 互质的整数个数).

　　对于 积性函数 F（X*Y），当且仅当 GCD（X，Y）= 1 时， F（X*Y） = F（X）* F（Y）

　　任意整数可因式分解为如下形式：

　　　     其中( p1, p2 ... pk 为质数, ei 为次数 )　

　　所以

　　　　

　　因为 欧拉函数 E（X）为积性函数， 所以

　　　　

　　对于    ， 我们知道 因为pi 为质数，所以 [ 1, pi-1 ] 区间的数都与 pi 互质

　　对于 区间[ 1,   ]  ，共有  个数， 因为  只有一个质因子，

　　所以与  约数大于1 的必定包含 质因子   ， 其数量为 

　   所以　　   　

　　又 E（N）为积性函数，所以可得 ：

　　　　

　　又因为       其中( p1, p2 ... pk 为质数, ei 为次数 )　

　　　　     但是此计算公式，除法过多，所以计算速度较慢

　　在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值 ( P为N的质因子 )

　　　　若(N%P==0 && (N/P)%P==0) 则有:E(N)=E(N/P)*P;

 

　　　　若(N%P==0 && (N/P)%P!=0) 则有:E(N)=E(N/P)*(P-1);

代码见：http://www.cnblogs.com/shenben/p/5658387.html