K-Means 聚类算法原理分析与代码实现

前言

　　在前面的文章中，涉及到的机器学习算法均为监督学习算法。

　　所谓监督学习，就是有训练过程的学习。再确切点，就是有 "分类标签集" 的学习。

　　现在开始，将进入到非监督学习领域。从经典的聚类问题展开讨论。所谓聚类，就是事先并不知道具体分类方案的分类 (允许知道分类个数)。

　　本文将介绍一个最为经典的聚类算法 - K-Means 聚类算法以及它的两种实现。

现实中的聚类分析问题 - 总统大选

　　假设 M 国又开始全民选举总统了，目前 Mr.OBM 的投票率为48%(投票数占所有选民人数的百分比)，而 Mr.MKN 的为47%，而剩下的一部分出于【种种原因】没有投票。

　　做为其中某个阵营的人，自然是希望能够尽可能的争取到这些剩余的票 -因为这完全可能影响最终选举结果。

　　然而，你不可能争取到这些人的所有投票，因为你满足某个群体的人，也许就伤害到了另一群人的利益。

　　一个很不错的想法是将这些人分为 K 个群体，然后主要对其中人数最多的几个群体做工作。这就需要使用到聚类的策略了。

　　聚类策略是搜集剩余选民的用户信息(各种满意/不满意的信息)，将这些信息输入进聚类算法，然后对聚类结果中人数最多的簇的选民做思想工作。

　　可能你会发现某个簇的选民都是一个社区的，一个宗教信仰的，或者具有某些共性。这样就方便各种各样的拉票活动了。

K-Means 聚类算法

　　K，指的是它可以发现 K 个簇；Means，指的是簇中心采用簇所含的值的均值来计算。

　　下面先给出伪代码：

 创建 k 个点作为起始质心 (随机选择):
     当任意一个点的簇分配结果发生改变的时候:
         对数据集中的每个数据点:
             对每个质心:
                 计算质心与数据点之间的距离
             将数据点分配到距其最近的簇
         对每一个簇:
             求出均值并将其更新为质心

　　然后是一个具体实现Python程序：

 #!/usr/bin/env python
 # -*- coding:UTF-8 -*-

 '''
 Created on 2015-01-05

 @author: fangmeng
 '''

 from numpy import *

 #==================================
 # 输入:
 #        fileName: 数据文件名(含路径)
 # 输出:
 #        dataMat: 数据集
 #==================================
 def loadDataSet(fileName):
     '载入数据文件'

     dataMat = []
     fr = open(fileName)
     for line in fr.readlines():
         curLine = line.strip().split('\t')
         fltLine = map(float,curLine)
         dataMat.append(fltLine)
     return dataMat

 #==================================================
 # 输入:
 #        vecA: 样本a
 #        vecB: 样本b
 # 输出:
 #        sqrt(sum(power(vecA - vecB, 2))): 样本距离
 #==================================================
 def distEclud(vecA, vecB):
     '计算样本距离'

     return sqrt(sum(power(vecA - vecB, 2)))

 #===========================================
 # 输入:
 #        dataSet: 数据集
 #        k: 簇个数
 # 输出:
 #        centroids: 簇划分集合(每个元素为簇质心)
 #===========================================
 def randCent(dataSet, k):
     '随机初始化质心'

     n = shape(dataSet)[1]
     centroids = mat(zeros((k,n)))#create centroid mat
     for j in range(n):#create random cluster centers, within bounds of each dimension
         minJ = min(dataSet[:,j])
         rangeJ = float(max(dataSet[:,j]) - minJ)
         centroids[:,j] = mat(minJ + rangeJ * random.rand(k,1))
     return centroids

 #===========================================
 # 输入:
 #        dataSet: 数据集
 #        k: 簇个数
 #        distMeas: 距离生成器
 #        createCent: 质心生成器
 # 输出:
 #        centroids: 簇划分集合(每个元素为簇质心)
 #        clusterAssment: 聚类结果
 #===========================================
 def kMeans(dataSet, k, distMeas=distEclud, createCent=randCent):
     'K-Means基本实现'

     m = shape(dataSet)[0]
     # 簇分配结果矩阵。一列为簇分类结果，一列为误差。
     clusterAssment = mat(zeros((m,2)))
     # 创建原始质心集
     centroids = createCent(dataSet, k)
     # 簇更改标记
     clusterChanged = True

     while clusterChanged:
         clusterChanged = False

         # 每个样本点加入其最近的簇。
         for i in range(m):
             minDist = inf; minIndex = -1
             for j in range(k):
                 distJI = distMeas(centroids[j,:],dataSet[i,:])
                 if distJI < minDist:
                     minDist = distJI; minIndex = j
             if clusterAssment[i,0] != minIndex: clusterChanged = True
             clusterAssment[i,:] = minIndex,minDist**2

         # 更新簇
         for cent in range(k):#recalculate centroids
             ptsInClust = dataSet[nonzero(clusterAssment[:,0].A==cent)[0]]
             centroids[cent,:] = mean(ptsInClust, axis=0) 

     return centroids, clusterAssment

 def main():
     'k-Means聚类操作展示'

     datMat = mat(loadDataSet('/home/fangmeng/testSet.txt'))
     myCentroids, clustAssing = kMeans(datMat, 4)

     #print myCentroids
     print clustAssing

 if __name__ == "__main__":
    main()

　　测试结果：

　　

K-Means性能优化

　　主要有两种方式：

　　1. 分解最大SSE (误差平方和)的簇

　　PS：直接在簇内执行一次 k=2 的 K-Means 聚类即可。

　　2. 合并距离最小的簇 或者 合并SSE增幅最小的两个簇

　　基于这两种最基本优化策略，有一种更为科学的聚类算法 - 二分K-Means算法，下面进行详细介绍。

二分K-Means算法

　　该算法大致思路为：首先将所有的点作为一个簇，然后将该簇一分为二。之后选择其中一个簇继续划分。

　　选择方法自然是选择SSE增加更小的那个方式。

　　如此不断 "裂变"，直到得到用户指定数目的簇。

　　伪代码：

将所有点视为一个簇:
    当簇数目小于k时:
        对于每一个簇:
            计算SSE
            在给定的簇上面进行 k=2 的K-Means聚类
            计算将簇一分为二后的SSE
        选择使得误差最小的那个簇进行划分操作

　　具体实现函数：

 #======================================
 # 输入:
 #        dataSet: 数据集
 #        k: 簇个数
 #        distMeas: 距离生成器
 # 输出:
 #        mat(centList): 簇划分集合(每个元素为簇质心)
 #        clusterAssment: 聚类结果
 #======================================
 def biKmeans(dataSet, k, distMeas=distEclud):
     '二分K-Means聚类算法'

     m = shape(dataSet)[0]
     # 聚类结果数据结构
     clusterAssment = mat(zeros((m,2)))
     # 原始质心
     centroid0 = mean(dataSet, axis=0).tolist()[0]
     centList =[centroid0]

     # 统计原始SSE
     for j in range(m):
         clusterAssment[j,1] = distMeas(mat(centroid0), dataSet[j,:])**2

     # 循环执行直到得到k个簇
     while (len(centList) < k):
         # 最小SSE
         lowestSSE = inf
         # 找到最适合分裂的簇进行分裂
         for i in range(len(centList)):
             ptsInCurrCluster = dataSet[nonzero(clusterAssment[:,0].A==i)[0],:]
             centroidMat, splitClustAss = kMeans(ptsInCurrCluster, 2, distMeas)
             sseSplit = sum(splitClustAss[:,1])
             sseNotSplit = sum(clusterAssment[nonzero(clusterAssment[:,0].A!=i)[0],1])

             if (sseSplit + sseNotSplit) < lowestSSE:
                 bestCentToSplit = i
                 bestNewCents = centroidMat
                 bestClustAss = splitClustAss.copy()
                 lowestSSE = sseSplit + sseNotSplit

         # 本次划分信息
         bestClustAss[nonzero(bestClustAss[:,0].A == 1)[0],0] = len(centList)
         bestClustAss[nonzero(bestClustAss[:,0].A == 0)[0],0] = bestCentToSplit

         # 更新簇集
         centList[bestCentToSplit] = bestNewCents[0,:].tolist()[0]
         centList.append(bestNewCents[1,:].tolist()[0])
         # 更新聚类结果集
         clusterAssment[nonzero(clusterAssment[:,0].A == bestCentToSplit)[0],:]= bestClustAss

     return mat(centList), clusterAssment

　　测试结果：

　　

小结

　　1. KMeans的用途很广泛，再举个例子吧：比如你计划要去中国100个城市旅游，那么如何规划路线呢？

　　---> 可以采用聚类的方法，将这些城市聚到几个簇里面，然后一个 ”簇"一个 "簇" 的进行游玩。质心就相当于机场，误差平方和就相当于游玩城市到质心的距离 :)

　　2. KMeans算法是很常用的聚类算法，然而，这里也要提一提它的缺点 - k值选取很难。这个话题也产生了很多研究，文章。有兴趣的读者可以进一步研究。