线段树基本操作（Segment Tree）

线段树（Segment Tree）

入门模板题 洛谷oj P3372

题目描述

　　如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

　　1.将某区间每一个数加上x

　　2.求出某区间每一个数的和

输入格式

　　第一行包含两个整数N、M，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

　　第二行包含N个用空格分隔的整数，其中第i个数字表示数列第i项的初始值。

　　接下来M行每行包含3或4个整数，表示一个操作，具体如下：

　　操作1： 格式：1 x y k 含义：将区间[x,y]内每个数加上k

　　操作2： 格式：2 x y 含义：输出区间[x,y]内每个数的和

输出格式

　　输出包含若干行整数，即为所有操作2的结果。

输入样例

5 5

1 5 4 2 3

2 2 4

1 2 3 2

2 3 4

1 1 5 1

2 1 4

输出样例

11

8

20

数据范围

对于30%的数据：N<=8，M<=10

对于70%的数据：N<=1000，M<=10000

对于100%的数据：N<=100000，M<=100000

　　才学会写线段树不久……随便扯一篇笔记orz

0x00 线段树概念

　　线段树是一种二叉搜索树。它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。

　　插入（删除）操作的时间复杂度为O（logn）。

0x01 树形结构及建树

　　作为一棵树，线段树的结构体大概是这样的：

struct SegmentTree{        //树的结构体
    long long l,r;    //覆盖的区间的左右指针
    long long value;    //该节点上维护的值
    long long tag;    //lazy标记，下面会写到，这也是线段树的精髓
}node[MAX_N*+];

　　要想建一棵线段树，可以利用线段树是个二叉树的性质，进行递归建树：

void build(REG long long p,REG long long l,REG long long r){    //递归建树
    node[p].l=l,node[p].r=r;
    if (l==r){    //访问到了最底部，不可再分
        node[p].value=read();
        return ;
    }
    long long mid=(l+r)>>;
    build(p<<,l,mid);
    build((p<<)+,mid+,r);
    node[p].value=node[p<<].value+node[(p<<)+].value;
}

　　

　　这样我们就拥有了一棵树。

0x02 lazy标记（懒标记）

　　上面提到过，线段树的精髓是lazy标记。不管是要查询还是更改数列，都绕不开它。

　　如果要修改一段区间（比如同时都增加k），最容易想到的方法是暴力枚举，一个个修改。这样操作m次，最坏时间复杂度是O(mn)。显然是过不去的。

　　所以我们可以想：如果不修改那么多节点呢？很容易想到，我们只关心查询需要用到的节点——并不是每一个被修改的节点都会在查询中被访问到的。打个比方：假设只有一次修改，一次询问。修改修改[1,16]，而询问只关心[1,8]，那么我们对于[9,16]的修改都是没有意义的。

　　可以想到，如果点i的两个儿子都要同时增加k，考虑先不修改两个儿子，而给点i打一个标记，标记一下i的两个儿子都要被修改。

　　如果在下面的询问里要访问到i的两个儿子之一，我们再对i的两个儿子进行修改（或下传标记），再把标记归零。如果两个儿子都会被访问到，就直接取i的值（i点维护的value值是两个儿子节点的和）。

　　这差不多就是lazy标记的思想，时间复杂度就降到了O(mlogn)。

　　写一个下传标记的函数：

void push_down(REG const long long& p){
    node[p<<].value+=(node[p].tag*(node[p<<].r-node[p<<].l+));
    node[(p<<)+].value+=(node[p].tag*(node[(p<<)+].r-node[(p<<)+].l+));
    node[p<<].tag+=node[p].tag;
    node[(p<<)+].tag+=node[p].tag;
    node[p].tag=;
}

　　按照这样的思想，我们就可以写出线段树了。其他的在最终代码里写了，不再赘述。

0x03 AC代码

#include <cstdio>
#define REG register
#define MAX_N 100000

using namespace std;

long long n,m;
long long a[MAX_N+];

long long ch,x,y,z;

inline long long read(){    //快速读入
    REG long long ch=getchar(),x=,f=;
    while (ch<''||ch>''){
        if (ch=='-')    f=-;
        ch=getchar();
    } while (ch<=''&&ch>=''){
        x=x*+ch-'';
        ch=getchar();
    }return x*f;
}

struct SegmentTree{        //树的结构体
    long long l,r;
    long long value;
    long long tag;
}node[MAX_N*+];

void build(REG long long p,REG long long l,REG long long r){    //递归建树
    node[p].l=l,node[p].r=r;
    if (l==r){    //访问到了最底部，不可再分
        node[p].value=read();
        return ;
    }
    long long mid=(l+r)>>;
    build(p<<,l,mid);
    build((p<<)+,mid+,r);
    node[p].value=node[p<<].value+node[(p<<)+].value;
}

void push_down(REG const long long& p){
    node[p<<].value+=(node[p].tag*(node[p<<].r-node[p<<].l+));
    node[(p<<)+].value+=(node[p].tag*(node[(p<<)+].r-node[(p<<)+].l+));
    node[p<<].tag+=node[p].tag;
    node[(p<<)+].tag+=node[p].tag;
    node[p].tag=;    //标记归零
}

void change(REG long long p,REG const long long& x,REG const long long& y,REG long long& z){
    if (x<=node[p].l&&y>=node[p].r){    //是否完全在区间内
        node[p].value+=(z*(node[p].r-node[p].l+));
        node[p].tag+=z;
        return ;
    }
    if (node[p].tag)    push_down(p);    //不完全在区间内，如果有lazy标记，下传
    REG long long mid=(node[p].l+node[p].r)>>;
    if (x<=mid)    change(p<<,x,y,z);
    if (y>mid)    change((p<<)+,x,y,z);
    node[p].value=node[p<<].value+node[(p<<)+].value;
}

inline long long ask(REG long long p,REG const long long& x,REG const long long& y){
    if (x<=node[p].l&&y>=node[p].r)    return node[p].value;
    push_down(p);
    REG long long mid=(node[p].l+node[p].r)>>;
    long long ans=;
    if (x<=mid)    ans+=ask(p<<,x,y);
    if (y>mid)    ans+=ask((p<<)+,x,y);
    return ans;
}

int main(){
//    freopen("test1.txt","r",stdin);
    n=read(),m=read();
    build(,,n);
    REG long long ch;
    while (m--){
        ch=read();
        if (ch==){
            x=read(),y=read(),z=read();
            change(,x,y,z);
        }
        else{
            x=read(),y=read();
            printf("%lld\n",ask(,x,y));
        }
    }
    return ;
} 

　　如果写的有哪里不对，欢迎指出，轻喷orz

[参考百度百科及网友讲解]