二分图匹配——p3386 p2071 p2319 p1129(矩阵游戏)
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二分图,就是给你一个图,可以将点分为两部分,每一部分的点都能唯一映射到另一个集合里,也就是有连边;
注:以下转自 http://blog.csdn.net/dark_scope/article/details/8880547
匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出,因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想,它是部图匹配最常见的算法,该算法的核心就是寻找增广路径,它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。
-------等等,看得头大?那么请看下面的版本:
通过数代人的努力,你终于赶上了剩男剩女的大潮,假设你是一位光荣的新世纪媒人,在你的手上有N个剩男,M个剩女,每个人都可能对多名异性有好感(-_-||暂时不考虑特殊的性取向),如果一对男女互有好感,那么你就可以把这一对撮合在一起,现在让我们无视掉所有的单相思(好忧伤的感觉
),你拥有的大概就是下面这样一张关系图,每一条连线都表示互有好感。
本着救人一命,胜造七级浮屠的原则,你想要尽可能地撮合更多的情侣,匈牙利算法的工作模式会教你这样做:
===============================================================================
一: 先试着给1号男生找妹子,发现第一个和他相连的1号女生还名花无主,got it,连上一条蓝线
===============================================================================
二:接着给2号男生找妹子,发现第一个和他相连的2号女生名花无主,got it
===============================================================================
三:接下来是3号男生,很遗憾1号女生已经有主了,怎么办呢?
我们试着给之前1号女生匹配的男生(也就是1号男生)另外分配一个妹子。
(黄色表示这条边被临时拆掉)
与1号男生相连的第二个女生是2号女生,但是2号女生也有主了,怎么办呢?我们再试着给2号女生的原配()重新找个妹子(注意这个步骤和上面是一样的,这是一个递归的过程)
此时发现2号男生还能找到3号女生,那么之前的问题迎刃而解了,回溯回去
2号男生可以找3号妹子~~~ 1号男生可以找2号妹子了~~~ 3号男生可以找1号妹子
所以第三步最后的结果就是:
===============================================================================
四: 接下来是4号男生,很遗憾,按照第三步的节奏我们没法给4号男生腾出来一个妹子,我们实在是无能为力了……香吉士同学走好。
===============================================================================
这就是匈牙利算法的流程,其中找妹子是个递归的过程,最最关键的字就是“腾”字
其原则大概是:有机会上,没机会创造机会也要上
这个讲的挺好的;
这个是模板,但是邻接矩阵应用限制大;
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=;
int n,m,e;
int edge[maxn][maxn];
int cp[maxn];
int ask[maxn];
int ans; bool search(int x)
{
for(int i=;i<=m;i++)
{
if(edge[x][i])
{
if(ask[i]) continue;
ask[i]=;
if(!cp[i]||search(cp[i]))
{
cp[i]=x;
return ;
}
}
}
return ;
}
void matching()
{
memset(cp,,sizeof(cp));
for(int i=;i<=n;i++)
{
memset(ask,,sizeof(ask));
if(search(i))
{
ans++;
}
}
} int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&m,&e);
for(int i=;i<=e;i++)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
if(x<=n&&y<=m)
{
edge[x][y]=;
//vis[y][x]=1;
}
}
matching();
printf("%d",ans);
return ;
}
P2071 座位安排
还是前式链向星舒服
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=;
int n,m;
int pre[maxn*],last[maxn],other[maxn*],l; void add(int x,int y)
{
l++;
pre[l]=last[x];
last[x]=l;
other[l]=y;
} int ans,cp[maxn][],ask[maxn][];
//int ask2[maxn],cp2[maxn]; bool search(int x)
{
for(int p=last[x];p;p=pre[p])
{
int v=other[p];
for(int i=;i<=;i++)
{
if(!ask[v][i])
{
ask[v][i]=;
if(!cp[v][i]||search(cp[v][i]))
{
cp[v][i]=x;
return ;
}
}
/*if(!ask2[i])
{
ask2[i]=1;
if(!cp2[i]||search(cp2[i]))
{
cp2[i]=x;
return 1;
}
}*/
}
}
return ;
} void matching()
{
memset(cp,,sizeof(cp));
for(int i=;i<=*n;i++)
{
memset(ask,,sizeof(ask));
//memset(ask2,0,sizeof(ask2));
if(search(i))
{
ans++;
}
}
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=;i<=*n;i++)
{
int x,s;
scanf("%d",&s);
scanf("%d",&x);
add(i,x);
add(i,s);
}
matching();
printf("%d",ans);
return ;
}
这个匈牙利算法我个人的理解就是先匹配,然后再递归替换;
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=;
int n,m;
int pre[maxn],last[maxn],other[maxn],l;
int cp[maxn],ask[maxn];
void add(int x,int y)
{
l++;
pre[l]=last[x];
last[x]=l;
other[l]=y;
}
int ans;
int num[maxn];
bool search(int x)
{
for(int p=last[x];p;p=pre[p])
{
int v=other[p];
if(ask[v]) continue;
ask[v]=;
if(!cp[v]||search(cp[v]))
{
cp[v]=x;
num[x]=v;
return ;
}
}
return ;
} void matching()
{
memset(cp,,sizeof(cp));
for(int i=;i<=n;i++)
{
memset(ask,,sizeof(ask));
if(search(i))
{
ans++;
}
else break;
}
} int main()
{
scanf("%d%d",&m,&n);
for(int i=;i<=n;i++)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
if(x!=y)
{
add(i,x+);
add(i,y+);
}
else add(i,x+);
}
matching();
printf("%d\n",ans);
for(int i=;i<=ans;i++)
{
printf("%d\n",num[i]-);
}
return ;
}
这几道题都是大同小异;
p1129矩阵游戏到是有点思维含量;
问是否可行,其实可以看出,就是行与列的匹配
如果g[i][j]==1,那么就给ij连一条边;
如果每行和每列都能成功匹配就是有解;
因为ij是1啊,如果这两个能匹配,这行和列都不能动,其他行只能找别的;
根据互换总能换成符合题意的形式;
(注意范围)
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=;
int t;
int n,g[maxn][maxn];
int pre[maxn*maxn],last[maxn*maxn],other[maxn*maxn],l;
void add(int x,int y)
{
l++;
pre[l]=last[x];
last[x]=l;
other[l]=y;
}
int cp[maxn],ask[maxn];
int ans; bool search(int x)
{
for(int p=last[x];p;p=pre[p])
{
int v=other[p];
if(ask[v]) continue;
ask[v]=;
if(!cp[v]||search(cp[v]))
{
cp[v]=x;
return ;
}
}
return ;
}
void matching()
{
memset(cp,,sizeof(cp));
for(int i=;i<=n;i++)
{
memset(ask,,sizeof(ask));
if(search(i))
{
ans++;
}
}
}
int main()
{
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
l=;ans=;
memset(last,,sizeof(last));
scanf("%d",&n);
for(int i=;i<=n;i++)
{
for(int j=;j<=n;j++)
{
scanf("%d",&g[i][j]);
if(g[i][j])
{
add(i,j);
}
}
}
matching();
if(ans==n) printf("Yes\n");
else printf("No\n");
}
return ;
}
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