UVa 10088 (Pick定理) Trees on My Island

这种1A的感觉真好

 #include <cstdio>
 #include <vector>
 #include <cmath>
 using namespace std;
 typedef long long LL;

 struct Point
 {
     LL x, y;
     Point(LL x=, LL y=):x(x), y(y) {}
 };

 Point operator - (const Point& A, const Point& B)
 { return Point(A.x-B.x, A.y-B.y); }

 LL Cross(const Point& A, const Point& B)
 { return A.x*B.y-A.y*B.x; }

 typedef vector<Point> Polygon;

 LL Area(const Polygon& p)
 {
     LL ans = ;
     int n = p.size();
     for(int i = ; i < n-; i++) ans += Cross(p[i]-p[], p[i+]-p[]);
     return abs(ans/);
 }

 LL gcd(LL a, LL b) { return b ==  ? a : gcd(b, a%b); }

 LL Boundary(const Polygon& p)
 {
     LL ans = ;
     int n = p.size();
     for(int i = ; i < n-; i++)
     {
         LL a = abs(p[i+].x - p[i].x);
         LL b = abs(p[i+].y - p[i].y);
         ans += gcd(a, b);
     }
     ans += abs(gcd(p[n-].x-p[].x, p[n-].y-p[].y));
     return ans;
 }

 int main()
 {
     //freopen("in.txt", "r", stdin);
     int n;
     while(scanf("%d", &n) ==  && n)
     {
         Polygon poly;
         Point p;
         for(int i = ; i < n; i++)
         {
             scanf("%lld%lld", &p.x, &p.y);
             poly.push_back(p);
         }
         LL A = Area(poly);
         LL b = Boundary(poly);
         printf("%lld\n", A - b/ + );
     }

     return ;
 }

代码君

假设平面上有一个顶点均为格点的单纯多边形(simple polygon)

其面积为A，边界上的格点数为b，内部格点数为i，则有恒等关系：

A = b/2 + i - 1

链接：

http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_25_10_1/page4.html

从问题的抛出，从特殊情况开始猜想，然后修正，最后给出证明。写得很好。

但是没有证明里面提到的“原子三角形”面积为1/2的命题，难道这个是非常显然的吗？=_=||

维基百科：

http://en.wikipedia.org/wiki/Pick%27s_theorem

比较严格的证明，但没有上一篇通俗易懂。

http://www.cut-the-knot.org/ctk/Farey.shtmlFarey%20Series

这个证明没看，但是后面提到了Pick定理在Farey级数中的应用，留坑，以后再看。