素数算法补充之"筛法"

国庆中秋双节，就不写太长的文章了。

补充和复习一下以前没写的素数区间筛法算法吧

部分证明过程来自OI wiki

素数筛法

如果我们想要知道小于等于 \(n\) 有多少个素数呢？

一个自然的想法是我们对于小于等于 \(n\) 的每个数进行一次判定。这种暴力的做法显然不能达到最优复杂度，考虑如何优化。

考虑这样一件事情：如果 \(x\) 是合数，那么 \(x\) 的倍数也一定是合数。利用这个结论，我们可以避免很多次不必要的检测。

如果我们从小到大考虑每个数，然后同时把当前这个数的所有（比自己大的）倍数记为合数，那么运行结束的时候没有被标记的数就是素数了。

int Eratosthenes(int n) {
    int p = 0;
    for (int i = 0; i <= n; ++i) is_prime[i] = 1;
    is_prime[0] = is_prime[1] = 0;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if (is_prime[i]) {
        prime[p++] = i;  // prime[p]是i,后置自增运算代表当前素数数量
        // 因为从 2 到 i - 1 的倍数我们之前筛过了，这里直接从 i
        // 的倍数开始，提高了运行速度
        for (int j = i * i; j <= n;j += i)  is_prime[j] = 0;
    }
    return p;
}

以上为 Eratosthenes 筛法 （埃拉托斯特尼筛法），时间复杂度是 \(O(n\log\log n)\) 。

以上做法仍有优化空间，我们发现这里面似乎会对某些数标记了很多次其为合数。有没有什么办法省掉无意义的步骤呢？

答案当然是：有！

如果能让每个合数都只被标记一次，那么时间复杂度就可以降到 \(O(n)\) 了

void init() {
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i < MAXN; ++i) {
        if (!vis[i]) {
            phi[i] = i - 1;
            pri[cnt++] = i;
        }
        for (int j = 0; j < cnt; ++j) {
            if (1ll * i * pri[j] >= MAXN) break;
            vis[i * pri[j]] = 1;
            if (i % pri[j]) {
                phi[i * pri[j]] = phi[i] * (pri[j] - 1);
            }
            else {
                // i % pri[j] == 0
                // 换言之，i 之前被 pri[j] 筛过了
                // 由于 pri 里面质数是从小到大的，所以 i 乘上其他的质数的结果一定也是
                // pri[j] 的倍数 它们都被筛过了，就不需要再筛了，所以这里直接 break
                // 掉就好了
                phi[i * pri[j]] = phi[i] * pri[j];
                break;
            }
        }
    }
}

上面代码中的 \(phi\) 数组，会在下面提到。

上面的这种 线性筛法 也称为 Euler 筛法 （欧拉筛法）。node: 注意到筛法求素数的同时也得到了每个数的最小质因子

筛法求欧拉函数

注意到在线性筛中，每一个合数都是被最小的质因子筛掉。比如设 \(p_1\) 是 \(n\) 的最小质因子， \(n' = \frac{n}{p_1}\) ，那么线性筛的过程中 \(n\) 通过 \(n' \times p_1\) 筛掉。

观察线性筛的过程，我们还需要处理两个部分，下面对 \(n' \bmod p_1\) 分情况讨论。

如果 \(n' \bmod p_1 = 0\) ，那么 \(n'\) 包含了 \(n\) 的所有质因子。

\[\begin{aligned}
\varphi(n) & = n \times \prod_{i = 1}^s{\frac{p_i - 1}{p_i}} \\\\
& = p_1 \times n' \times \prod_{i = 1}^s{\frac{p_i - 1}{p_i}} \\\\
& = p_1 \times \varphi(n')
\end{aligned}
\]

那如果 \(n' \bmod p_1 \neq 0\) 呢，这时 \(n'\) 和 \(p_1\) 是互质的，根据欧拉函数性质，我们有：

\[\begin{aligned}
\varphi(n) & = \varphi(p_1) \times \varphi(n') \\\\
& = (p_1 - 1) \times \varphi(n')
\end{aligned}
\]

void phi_table(int n, int* phi) {
    for (int i = 2; i <= n; i++) phi[i] = 0;
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
        if (!phi[i])
            for (int j = i; j <= n; j += i) {
                if (!phi[j]) phi[j] = j;
                phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
            }
}

筛法求莫比乌斯函数

线性筛

void pre() {
    mu[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= 1e7; ++i) {
        if (!v[i]) mu[i] = -1, p[++tot] = i;
        for (int j = 1; j <= tot && i <= 1e7 / p[j]; ++j) {
            v[i * p[j]] = 1;
            if (i % p[j] == 0) {
                mu[i * p[j]] = 0;
                break;
            }
            mu[i * p[j]] = -mu[i];
        }
    }

筛法求约数个数

用 \(d_i\) 表示 \(i\) 的约数个数， \(num_i\) 表示 \(i\) 的最小质因子出现次数。

约数个数定理

定理：若 \(n=\prod_{i=1}^mp_i^{c_i}\) 则 \(d_i=\prod_{i=1}^mc_i+1\) .

证明：我们知道 \(p_i^{c_i}\) 的约数有 \(p_i^0,p_i^1,\dots ,p_i^{c_i}\) 共 \(c_i+1\) 个，根据乘法原理， \(n\) 的约数个数就是 \(\prod_{i=1}^mc_i+1\) .

实现

因为 \(d_i\) 是积性函数，所以可以使用线性筛。

void pre() {
    d[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if (!v[i]) v[i] = 1, p[++tot] = i, d[i] = 2, num[i] = 1;
        for (int j = 1; j <= tot && i <= n / p[j]; ++j) {
            v[p[j] * i] = 1;
            if (i % p[j] == 0) {
                num[i * p[j]] = num[i] + 1;
                d[i * p[j]] = d[i] / num[i * p[j]] * (num[i * p[j]] + 1);
                break;
            }
            else {
                num[i * p[j]] = 1;
                d[i * p[j]] = d[i] * 2;
            }
        }
    }
}

筛法求约数和

\(f_i\) 表示 \(i\) 的约数和， \(g_i\) 表示 \(i\) 的最小质因子的 \(p+p^1+p^2+\dots p^k\) .

void pre() {
    g[1] = f[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if (!v[i]) v[i] = 1, p[++tot] = i, g[i] = i + 1, f[i] = i + 1;
        for (int j = 1; j <= tot && i <= n / p[j]; ++j) {
            v[p[j] * i] = 1;
            if (i % p[j] == 0) {
                g[i * p[j]] = g[i] * p[j] + 1;
                f[i * p[j]] = f[i] / g[i] * g[i * p[j]];
                break;
            }
            else {
                f[i * p[j]] = f[i] * f[p[j]];
                g[i * p[j]] = 1 + p[j];
            }
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) f[i] = (f[i - 1] + f[i]) % Mod;
}

区间筛法

给定整数a和b，请问区间\([a,b)\)内有多少个素数？\(（a<b≤10^{12},b-a≤10^6）\)

思路：b以内的合数的最小质因数一定不超过\(√b\)。如果有\(√b\)以内的素数表的话，就可以把埃氏筛法运用在\([a,b)\)上了。也就是说，先分别做好\([2,√b)\)的表和\([a,b)\)的表，然后从\([2,√b)\)的表中筛得素数的同时，也将其倍数从\([a,b)\)的表中划去，最后剩下的就是\([a,b)\)内的素数了。

bool v1[Max_n1]; //数组大小为sqrt(b)
bool v2[Max_n2]; //数组大小为b-a

ll Prime(ll a, ll b) {
    for (ll i = 0; i * i < b; i++)v1[i] = true;
    for (ll i = 0; i < b - a; i++)v2[i] = true;

    for (ll i = 2; i * i < b; i++) {
        if (v1[i]) {
            for (ll j = 2 * i; j * j < b; j += i)v1[j] = false; //筛[2,b)
            for (ll j = max(2LL, (a + i - 1) / i) * i; j < b; j += i)v2[j - a] = false; //筛[a,b)
            //2LL是2的长整数形式
            //((a+i-1)/i)*i是符合>=a最小是i倍数的数
        }
    }
    ll k = 0;
    for (ll i = 0; i < b - a; i++) {
        if (v2[i])k++;
    }
    return k;

其他线性函数

待补充