Floyd—Warshall算法
我们用DP来求解任意两点间的最短路问题
首先定义状态:d[k][i][k]表示使用顶点1~k,i,j的情况下,i到j的最短路径
(d[0][i][j]表示只使用i和j,因此d[0][i][j] = cost[i][j])
状态转移方程:d[k][i][j] = min ( d[k-1][i][k], d[k-1][k][j] )
解释:我们分i到j的最短路正好经过顶点k一次和完全不经过k两种情况来讨论。
这个DP也可以使用滚动数组来进行递推:d[i][j] = min ( d[i][j], d[i][k]+d[k][j] ),为什么可以这样呢?
我参考了《算法竞赛入门经典》中对背包问题的滚动数组后大概就懂了,在计算d[k][i][j]之前,d[i][j]保存的是d[k-1][i][k],另外一个也是同样的道理
模板如下:
int d[MAX_V][MAX_V];//d[u][v]初始化时表示边e(u,v)的权值(不存在时设为INF,d[i][i]=0)
int V;//顶点数 for (int k = ; k <= V; k++)
for (int i = ; i <= V; i++)
for (int j = ; j <= V; j++)
d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k]+d[k][j]);
附:
滚动数组可处理的问题多表现为多步的数据递推,而且每一步递推只会用到上一次递推的数据,此时就记得要用滚动数组优化空间。
由于每一步的递推只会用到上一步的数据,其常见的长度为2。
可参考这篇博客:滚动数组
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