【09NOIP提高组】Hankson 的趣味题（信息学奥赛一本通 1856）（洛谷 1072）

题目描述

　　Hanks 博士是BT (Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫Hankson。现在，刚刚放学回家的Hankson 正在思考一个有趣的问题。今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数c1 和c2 的最大公约数和最小公倍数。现在Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数a0,a1,b0,b1，设某未知正整数x 满足：
1、x 和a0 的最大公约数是a1；
2、x 和b0 的最小公倍数是b1。
Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数x。但稍加思索之后，他发现这样的x 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的x 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

输入格式

　　输入文件名为 son.in。第一行为一个正整数n，表示有n 组输入数据。接下来的n 行每行一组输入数据，为四个正整数a0，a1，b0，b1，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证a0 能被a1 整除，b1 能被b0 整除。

输出格式

　　输出文件 son.out 共n 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。对于每组数据：若不存在这样的 x，请输出0；若存在这样的 x，请输出满足条件的x 的个数；

样例数据 1

输入

2
41 1 96 288
95 1 37 1776

输出

6
2

「说明」第一组输入数据，x 可以是9、18、36、72、144、288，共有6 个。第二组输入数据，x 可以是48、1776，共有2 个。

备注

「数据范围」
对于 50%的数据，保证有1≤a0，a1，b0，b1≤10000 且n≤100。
对于 100%的数据，保证有1≤a0，a1，b0，b1≤2,000,000,000 且n≤2000。

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这道题呢，可以说是有很多种解法，我在这里简单讲三种。

方法一：（可得五十分）

由gcd(x,a0)=a1,lcm(x,b0)=b1,可知a1<=x<=b1，因此可以在这个区间内枚举x，求出此时的a1' 和b1'，判断是否与原题给出的a1,b1相等。

方法二：（可得七十分）

令b0=t*m,x=t*n,gcd(m,n)=1,推出b1=t*m*n。而b1/b0=(t*m*n)/(t*m)=n为x的一个因子，这样就可以在已知一个因子的情况下，枚举进行判断。

--->以上两种方法都并不是很难想，在考场上能得到这部分保底分已经足够了，就算没有把握AC，能骗到部分分也挺好的啦(*´・ｖ・)

方法三：（可得一百分）

由题意得b0*x=b1*gcd(x,b0)，x=b1/b0*gcd(x,b0)，令i=gcd(x,b0)∈[1,根号b0]，分别判断x=b1/b0*i和x=b1/b0*(b0/i)是否满足条件，然后还要注意处理特殊情况（即当根号b0恰好也满足条件时）

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 const int N=1e6+,inf=<<;
 long long n,ans,tot;
 int read()
 {
     int f=;char ch;
     while((ch=getchar())<''||ch>'')
         if(ch=='-')f=-;
     int res=ch-'';
     while((ch=getchar())>=''&&ch<='')
         res=res*+ch-'';
     return res*f;
 }
 void write(int x)
 {
     if(x<)
     {
         putchar('-');
         x=-x;
     }
     if(x>)write(x/);
     putchar(x%+'');
 }
 int gcd(int x,int y)
 {
     if(y==)return x;
     else return gcd(y,x%y);
 }
 int main()
 {
     n=read();
     while(n--)
     {
         int a0,a1,b0,b1;
         a0=read();a1=read();b0=read();b1=read();
         ans=;
         for(int i=;i*i<b0;i++)
             if(b0%i==)
             {
                 int x=b1/b0*i;
                 if(gcd(x,b0)==i&&gcd(x,a0)==a1)ans++;
                 x=b1/b0*(b0/i);
                 if(gcd(x,b0)==b0/i&&gcd(x,a0)==a1)ans++;
             }
         int k=int(sqrt(b0));
         if(k*k==b0)
         {
             int x=b1/b0*k;
             if(gcd(x,b0)==k&&gcd(x,a0)==a1)ans++;
         }
         write(ans);
         putchar('\n');
     }
     return ;
 }

当然，这道优秀的题目还有其他的做法也很不错，我个人推荐一下以下两种做法

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