[图论]最短路径问题 :Floyed-Warshall

最短路径问题

目录

• 最短路径问题
• • Description
  • Input
  • Output
  • Sample Input
  • Sample Output
  • 解析
  • • • 了解Floyed算法
      • Floyed算法的核心思想：
  • 代码

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Description

平面上有n个点(N<=100)，每个点的坐标均在-10000~10000之间。其中的一些点之间有连线。若有连线，则表示可从一个点到达另一个点，即两点间有通路，通路的距离为两点直线的距离。现在的任务是找出从一点到另一点之间的最短路径。

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Input

输入文件short.in，共有n+m+3行，其中：
第一行为一个整数n。
第2行到第n+1行（共n行），每行的两个整数x和y，描述一个点的坐标(以一个空格隔开)。
第n+2行为一个整数m，表示图中的连线个数。
此后的m行，每行描述一条连线，由两个整数I,j组成，表示第i个点和第j个点之间有连线。
最后一行：两个整数s和t，分别表示源点和目标点。

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Output

输出文件short.out仅一行，一个实数(保留两位小数)，表示从S到T的最短路径的长度。

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Sample Input

5
0 0
2 0
2 2
0 2
3 1
5
1 2
1 3
1 4
2 5
3 5
1 5

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Sample Output

3.41

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解析

本题解使用的是 Floyed算法

了解Floyed算法

Floyed算法的核心思想：

通过一个图的权值矩阵求出它的每两点间的最短路径矩阵。
从图的带权邻接矩阵A=[a(i,j)] n×n开始，递归地进行n次更新，即由矩阵D(0)=A，按一个公式，构造出矩阵D(1)；又用同样地公式由D(1)构造出D(2)；……；最后又用同样的公式由D(n-1)构造出矩阵D(n)。矩阵D(n)的i行j列元素便是i号顶点到j号顶点的最短路径长度，称D(n)为图的距离矩阵，同时还可引入一个后继节点矩阵path来记录两点间的最短路径。
采用松弛技术（松弛操作），对在i和j之间的所有其他点进行一次松弛。所以时间复杂度为O(n^3);

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(分割线)
说了一堆乱七八糟难以理解的东西，其实这道题就是一个很直板的 -模板题- ，但有一些细节要注意，自己一个人很难找到错误的地方，所以要小心慎行。

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代码

#include<cmath>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
using namespace std;
double g[101][101],c[101],x[101];
int n,m,a,d,s,t;
bool b[101];
int main() {
	memset(g,0x7f,sizeof(g)); //初始化数组g，给他赋最大值。（一定不要漏掉！！！）
    scanf("%d",&n); //n个点
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf%lf",&c[i],&x[i]); //输入n个点的坐标
    scanf("%d",&m); //有m条边
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&a,&d);
		g[a][d]=sqrt(abs((c[a]-c[d]))*abs((c[a]-c[d]))+abs((x[a]-x[d]))*abs((x[a]-x[d]))); //利用勾股定理来计算距离
		g[d][a]=g[a][d];
    }
    scanf("%d%d",&s,&t); //输入目标点
    for(int k=1;k<=n;k++) //Floyed算法
       for(int i=1;i<=n;i++)
          for(int j=1;j<=n;j++)
             if((i!=j) and (i!=k) and (j!=k) and (g[i][k]+g[k][j]<g[i][j]))
              g[i][j]=g[i][k]+g[k][j];
    printf("%.2lf",g[s][t]); //保留两位小数输出
    return 0;
}