算法之Floyd-Warshall算法【c++】【图论】【最短路】

我们作为刚学图论的小蒟蒻，先接触到的算法一定是图上最短路径算法。而最短路算法中最简单的当属Floyd-Warshall算法。下面是一些基本介绍：

​该算法可以计算图上任意两点间的最短路径

时间复杂度：​​​​O(n^3)

适用情况：适用出现负边权的情况

算法伪代码：

弗洛伊德算法的基本思想是动态规划，我们枚举每一个点，并以其为中间节点更新任意两点间的最小距离，伪代码：

#define maxn 最大节点数
#define inf 0x7fffffff-2
long long val[maxn][maxn];
long long dis[maxn][maxn];
inline void floyd(){
    for(int i=1;i<=maxn;i++)
    	for(int j=1;j<=maxn;j++)
    		if(val[i][j])
    			dis[i][j]=val[i][j];
			else
				dis[i][j]=inf;
	for(int k=1;k<=maxn;k++)
		for(int i=1;i<=maxn;i++)
			for(int j=1;j<=maxn;j++)
				if(dis[i][j]>dis[i][k]+dis[k][j])
					dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];
}

​此时，dis[i][j]就是从i节点到j节点的最短路径。

算法分析&&思路讲解

1. 初始化：我们在初始化时，将有边相连的节点间distance更新为边权值，无边相连直接设为极大值。
2. 动态规划：对于每个节点，我们都让它做一次中间节点（k），然后分别枚举另外两个节点（i，j），如果当前从i到j的最短路大于从i到k的最短路加上从j到k的最短路，即从i到j如果经过k点会路径更短，那么我们更新从i到j的最短路。
3. 算法结束，我们得到了所有的最短路。

需要强调的一点是，floyd中k的循环必须写在最外层，否则会导致动态规划状态转移发生错误！

例题讲解：Luogu P2935

传送门

不难发现，题目是让我们求所有牧场到喜欢的牧场的最短路，这就是所谓的多源最短路问题。对于这道题思路如下：

1. 用floyd求出所有最短路。
2. 枚举每个点，求出最小平均距离。

该题数据较小，这种思路完全可以通过。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inf 0x3fffffff
int n,m,f,u,v,t;
int square[501][501];
long long dis[501][501];
int like[501];
int main(){
	scanf("%d %d %d",&n,&f,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			dis[i][j]=inf;
		}
		dis[i][i]=0;
	}//预处理。
	for(int i=1;i<=f;i++){
		scanf("%d",&like[i]);
	}//输入每个喜欢的牧场
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d %d %d",&u,&v,&t);
		dis[u][v]=t;
		dis[v][u]=t;
	}//输入牧场距离并预处理
	for(int k=1;k<=n;k++){
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=n;j++){
				dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);//裸的floyd板子
			}
		}
	}
	int ans,maxx=inf,sum=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		sum=0;
		for(int j=1;j<=f;j++){
			sum+=dis[i][like[j]];//统计从该节点到所有喜欢的牧场的总最短距离
		}
		if(sum<maxx){
			ans=i;
			maxx=sum;
		}
        //这里注意一下，题目说让我们求的是平均距离最小，但其实喜欢的牧场个数固定，我们就只需要求总最短路径最小就行了，不用再取平均值。
	}
	cout<<ans;//输出牧场序号
	return 0;
}

拓展延伸：算法变形

floyd算法在一些情况下可以变形，用途是判断图上任意两点间连通性。

伪代码：

#define maxn 最大节点数
bool val[maxn][maxn];
bool dis[maxn][maxn];
inline void floyd(){
    for(int i=1;i<=maxn;i++)
    	for(int j=1;j<=maxn;j++)
    		if(val[i][j])
    			dis[i][j]=1;//相邻两点间距离设为ture
			else
				dis[i][j]=0;//不相邻设为false
	for(int k=1;k<=maxn;k++)
		for(int i=1;i<=maxn;i++)
			for(int j=1;j<=maxn;j++)
				dis[i][j]=dis[i][j]||(dis[i][k]&&dis[k][j]);
                //原理：若i与k联通，k与j联通，则i与j联通
}

完结撒花