Luogu P10843 Turtle and Cycles 题解 [ 蓝 ] [ 差分 ] [ 前缀和 ] [ 贪心 ] [ 数学 ]

Turtle and Cycles：修改转化为交换差分数组的 trick 运用。这个 trick 实际上在 NOIp2021 里出过一次了。

转化

首先，\(a_{(i - 1) \bmod n} + a_{(i + 1) \bmod n} - a_i\) 是个很典的形式。设 \(a_{(i - 1) \bmod n}=x,a_i=y,a_{(i + 1) \bmod n}=z\)，那么 \(a_i\) 处的原来的差分值为 \(y-x\)，\(a_{(i + 1) \bmod n}\) 处的原来的差分值为 \(z-y\)。

修改后，\(a_i\) 处的差分值变为 \(x+z-y-x=z-y\)，\(a_{(i + 1) \bmod n}\) 处的差分值变为 \(z-(x+z-y)=z-x-z+y=y-x\)。所以对 \(a_i\) 进行修改后相当于把 \(a_i\) 与 \(a_{(i + 1) \bmod n}\) 处的差分值交换了。

设 \(b_i\) 表示 \(a_i\) 处的差分值。

那么我们要让这个环满足条件，首先就得破环为链。拆成链之后，显然只能有一个地方满足 \(b_i>0,b_{(i + 1) \bmod n}<0\)。于是设 \(b_i>0\) 时为 \(1\)，否则为 \(0\)，就可以先转化为 \(01\) 串问题来解决。这个 \(01\) 串合法的条件就是满足 \(111\dots000\dots111\) 的形式。

贪心

接下来考虑如何最小化操作次数，不难发现，贪心移动时，对于在中间点左边的 \(1\) 都必须移动到左边来，对于在中间点右边的 \(1\) 都必须移动到右边来。那么如何快速计算这个值呢？

假设我们当前计算的区间为 \([l,r]\)。

先考虑左半边的情况，设 \(g_i\) 表示前 \(i\) 个数里的 \(1\) 的下标之和为多少，\(f_i\) 表示前 \(i\) 个数中 \(1\) 的个数。如果先让这些 \(1\) 全都移动到 \(l\) 处，那么答案就是 \(g_{mid}-g_{l-1}-l\times (f_{mid}-f_{l-1})\)。

但是实际有些 \(1\) 是不需要完全移动到 \(l\) 处的，它们有些可以移动到 \(l+1,l+2,l+3\) 等位置，这就需要减掉它们的贡献。而这些贡献显然构成一个等差数列，那么只需要求和一下就好了，多算的贡献即为 \(\frac{(f_{mid}-f_{l-1}-1)\times (f_{mid}-f_{l-1})}{2}\)。

左半边的答案就是 \(g_{mid}-g_{l-1}-l\times (f_{mid}-f_{l-1})-\frac{(f_{mid}-f_{l-1}-1)\times (f_{mid}-f_{l-1})}{2}\)。

右半边同理，就不写了。

时间复杂度 \(O(n)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define lc (p<<1)
#define rc ((p<<1)|1)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pi;
int t,n,a[400005];
ll g[400005],f[400005],sg[400005];
bitset<400005>b;
ll cal()
{
    ll ans=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
    {
        int mid=i+n/2-1;
        ll lk=f[mid]-f[i-1];
        ll lres=g[mid]-g[i-1]-lk*i-(lk-1)*lk/2;
        ll rk=f[i+n-1]-f[mid];
        ll rres=sg[mid+1]-sg[i+n]-rk*(2*n-(i+n-1)+1)-(rk-1)*rk/2;
        ans=min(ans,lres+rres);
    }
    return ans;
}
void solve()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i];
        a[i+n]=a[i];
    }
    for(int i=2;i<=n+1;i++)
    {
        b[i-1]=(a[i]>a[i-1]);
        b[i-1+n]=b[i-1];
    }
    for(int i=1;i<=2*n;i++)
    {
        f[i]=f[i-1]+b[i];
        g[i]=g[i-1]+i*b[i];
    }
    sg[2*n+1]=0;
    for(int j=1,i=2*n;i>=1;i--,j++)sg[i]=sg[i+1]+j*b[i];
    cout<<cal()<<'\n';
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    cin>>t;
    while(t--)solve();
    return 0;
}