[计算机图形学]视图变换：MVP变换、视口变换

一、MVP变换
二、Viewport变换

一、MVP变换

MVP变换是模型变换（M）、视角变换（V）、投影变换（P）的统称。MVP变换操作的是三维空间中的点，经过MVP变换后会被映射到标准二维平面上（实际上这个标准二维平面仍保留了z轴坐标）。

1. 模型变换

模型变换在三维空间中对物体进行的操作，对三维物体本身进行缩放、旋转、平移操作

注意，模型变换是相对于三维坐标系（亦称世界坐标系）的原点进行的！

特别地，当需要绕物体中心旋转时，需要将物体中心移动到原点，然后进行相应操作，操作完成后再移动回去（用矩阵描述为：$M = M_t^{-1} \cdot M_s \cdot M_r \cdot M_t$，然后与点进行操作，$Point_N = M \cdot Point$）。

上述M矩阵的点乘顺序是随机的，同时也不是都需要的。同时大家可以思考一下调换项的位置会发生什么效果？

这里，只给出缩放、旋转、平移矩阵，不做解释说明（如果想知道详细过程，简单）

下面列举的公式与前面的没有必然联系

1.1 缩放矩阵

\[ M_s = \begin{pmatrix}
s_x & 0 & 0 & 0 \\
0 & s_y & 0 & 0 \\
0 & 0 & s_z & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\]

1.2 旋转矩阵

参考文章：https://blog.csdn.net/csxiaoshui/article/details/65446125

\[ M_{rx} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & cos\theta & -sin\theta & 0 \\
0 & sin\theta & cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}

M_{ry} = \begin{pmatrix}
cos\theta & 0 & sin\theta & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-sin\theta & 0 & cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}

M_{rz} = \begin{pmatrix}
cos\theta & -sin\theta & 0 & 0 \\
sin\theta & cos\theta & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\]

1.3 平移矩阵

\[ M_t = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & t_x \\
0 & 1 & 0 & t_y \\
0 & 0 & 1 & t_z \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\]

使用时，只需要带入要变换的点（为方便分析，这里没有给出放缩矩阵和平移矩阵）

\[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{pmatrix} =
M_r \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & cos\theta & -sin\theta & 0 \\
0 & sin\theta & cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix}
cos\theta & 0 & sin\theta & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-sin\theta & 0 & cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix}
cos\theta & -sin\theta & 0 & 0 \\
sin\theta & cos\theta & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix}
\]

如果你需要绕物体中心进行相应的操作（为方便分析，这里没有给出放缩矩阵）

这里的平移矩阵需要计算物体中心的坐标，然后计算到三维空间坐标系原点的距离

同样，反平移矩阵计算过程类似

\[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{pmatrix} =
M_t^{-1} \cdot M_r \cdot M_t \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -t_x \\
0 & 1 & 0 & -t_y \\
0 & 0 & 1 & -t_z \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & cos\theta & -sin\theta & 0 \\
0 & sin\theta & cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix}
cos\theta & 0 & sin\theta & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-sin\theta & 0 & cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix}
cos\theta & -sin\theta & 0 & 0 \\
sin\theta & cos\theta & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & t_x \\
0 & 1 & 0 & t_y \\
0 & 0 & 1 & t_z \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix}
\]

如果需要引入实际的平移矩阵，则变成

其中$M_{tr}$为平移矩阵，$M_t$是经物体中心移动到坐标原点自动添加的

\[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{pmatrix} =
M_{tr} \cdot M_t^{-1} \cdot M_r \cdot M_t \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix}
\]

最后，如果需要再加上放缩矩阵，这个就不给出了（只需要知道将放缩矩阵放在不同的位置会有的含义就可以了）

以下内容在单片机上基本上就不要奢求了，所以用到的很少，因此本文中不再多做介绍，甚至也不会给出公式。

如果由兴趣，欢迎一起探讨（liangzongnan0214@163.com）

2. 视角变换

将三维空间坐标系内的点映射到相机坐标系中

需要给出相机所处的三维空间的位置、相机观察点、相机向上方向（与相机位置和相机观察点构成的连线垂直）

然后根据右手法则来建立相机坐标系

在建系时，统一先归一化到单位向量，因为只需要方向信息

至于如何将三维空间坐标系映射到相机坐标系，这里给出一篇参考文章

参考文章：https://blog.csdn.net/silangquan/article/details/50987196

3. 投影变换

将相机坐标系映射到标准的二维平面上（注意，这里的z轴信息没有丢失，正因如此，才可以进行后续的着色、遮挡等工作）

只需要知道，投影变换包括正交投影和透视投影，透视投影的前期就是正交投影

参考文章：https://blog.csdn.net/a1353206432/article/details/106303036

二、Viewport变换

Viewport变换只做了一件事：将投影变换得到的标准二维平面调整到显示屏幕上

因此，Viewport变换本质是一个放缩+平移的过程