[CodeForces - 1225D]Power Products 【数论】【分解质因数】

标签：题解 codeforces题解数论

题目描述

Time limit

2000 ms

Memory limit

524288 kB

Source

Technocup 2020 - Elimination Round 2

Tags

hashing math number theory *1900

Site

https://codeforces.com/problemset/problem/1225/D

题面

Example

Input

6 3

1 3 9 8 24 1

Output

5

题目大意

给定$n, k$，序列$a[1 \cdots n]$。问在该序列中能找到多少组序偶$<i, j>$满足$a_i \cdot a_j = x ^ k$（其中$x$可以为任意整数）。

例如，

$n = 6, k = 3, a[1 \cdots n] = [1, 3, 9, 8, 24, 1]$。

则有$$a_1 \cdot a_4 = 1 \cdot 8 = 8 = 2 ^ 3 \ a_1 \cdot a_6 = 1 \cdot 1 = 1 = 1 ^ 3 \ a_2 \cdot a_3 = 3 \cdot 9 = 27 = 3 ^ 3 \ a_3 \cdot a_5 = 9 \cdot 24 = 216 = 6 ^ 3 \ a_4 \cdot a_6 = 8 \cdot 1 = 8 = 2 ^ 3 $$

共五组情况，所以输出5。

解析

这道题是一道比较裸的数论题，很容易让人直接想到质因数分解。虽然我没有想到，当时打比赛都没有做到D题。

这题首先不考虑数论的知识，把这种求序偶个数的问题抽象出来。

把这道题抽象为给定$n, k$，序列$a[1 \cdots n]$。问在该序列中能找到多少组序偶$<i, j>$满足$a_i + a_j = k$。

这个问题其实很好解决，只要稍微想一下就可以得出答案。令$cnt[i][j]$为到第$i$个位置，数字$j$在之前出现的次数。那么答案应该是$\sum_i^ncnt[i][k - a[i]]$。

在实际编程过程中，因为我们每到一个数$a[i]$， $cnt[i][a[i]]$实际上是在上一个$cnt[i - 1][a[i]]$基础上得来的，而这个$cnt[i - 1][a[i]]$之后就再也没有用了，其他的$cnt[i - 1][1 \cdots INF]$也没有改变，所以我们可以将这个$cnt$数组降到一维，这个思想也叫作滚动数组。
下面回到这个问题，把关键的$a_i \cdot a_j = x ^ k$加入其中。

首先我们要知道当给定了$k$，即使$x$的值是不确定的，对于$t \cdot s = x ^ k$，对于每一个$t$都只有唯一的$s$与之对应。

对$t$质因数分解，得

\[t = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot p_3^{\alpha_3} \cdot \dots \\ t_0 = p_1^{\alpha_1\% k} \cdot p_2^{\alpha_2\% k} \cdot p_3^{\alpha_3\% k} \cdot \dots
\]

则$$s = p_1^{k - (\alpha_1 % k)} \cdot p_2^{k - (\alpha_2 % k)} \cdot p_3^{k - (\alpha_3 % k)} \cdot \dots$$

所以对于每个$t$我们只要看之前有多少个这样的$s$出现就可以了。

而对于每个$a_i(t)$我们实际上要记录的是它的$t_0$形式，因为只有这种形式才对答案有贡献。

这样我们在对每个$a_i$进行质因数分解的时候就顺带把$s$的值也求出来，最后$\sum_i^ncnt[x ^ k \div a[i]]$即为答案（$cnt$为滚动数组，即到当前$i$位置，之前的数字$x ^ k \div a[i]$出现的个数）。

通过代码

/*

Status

	Accepted

Time

	46ms

Memory

	396kB

Length

	1076

Lang

	GNU G++11 5.1.0

Submitted

	2019-12-20 16:42:32

RemoteRunId

	67272043

*/

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int MAXN = 1e5 + 50;

int cnt[MAXN];

int x, n, k;

ll y;                       //注意y要开long long.

inline int read()           //快读，1e5数据输入量.

{

    int res = 0;

    char ch;

    ch = getchar();

    while(!isdigit(ch))

        ch = getchar();

    while(isdigit(ch)){

        res = (res << 3) + (res << 1) + ch - 48;

        ch = getchar();

    }

    return res;

}

void work(int p, int &t)

{

    int c = 0;

    while(t % p == 0)

        t /= p, c ++;

    c %= k;

    for(int i = 0; i < c; i ++)

        x *= p;

    for(int i = 0; i < (k - c) % k; i ++){           //(k - c) % k是针对c为0的情况的特判.

        y *= p;

        if(y >= MAXN){

            y = MAXN;

            break;

        }

    }

    return;

}

int main()

{

    ll ans = 0;

    n = read(), k = read();

    for(int i = 1; i <= n; i ++){

        int t;

        t = read();

        x = y = 1;                                //x对应的是t0，y对应的是s.

        for(int j = 2; j * j <= t; j ++)         //质因数分解.

            if(t % j == 0)   work(j, t);

        if(t > 1)  work(t, t);

        if(y < MAXN){                          //如果得到的y超过1e5，就超过范围找不到了，就没有意义.

            ans += cnt[y];

            cnt[x] ++;

        }

    }

    printf("%I64d", ans);

    return 0;

}