复旦高等代数II（16级）每周一题

每周一题的说明

一、本学期高代II的每周一题面向16级的同学，将定期更新（一般每周的周末公布下一周的题目）;

二、欢迎16级的同学通过微信或书面方式提供解答图片或纸质文件给我，优秀的解答可以分享给大家；

三、请大家先独立思考和解答每周一题，实在做不出的情况下，可以点击参考答案进行学习。

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[问题2017S01]  设 $A$ 是 $n$ 阶对合阵, 即 $A^2=I_n$, 证明: $n-\mathrm{tr}(A)$ 为偶数, 并且 $\mathrm{tr}(A)=n$ 的充要条件是 $A=I_n$.

[问题2017S02]  设方阵 $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & a & 0 \\ a-2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ 可对角化, 求 $a$ 的值.

[问题2017S03]  设 $A_1,A_2,\cdots,A_m\in M_n(\mathbb{K})$, $g(x)\in\mathbb{K}[x]$, 使得 $g(A_1),g(A_2),\cdots,g(A_m)$ 都是非异阵, 证明: 存在 $h(x)\in\mathbb{K}[x]$, 使得 $g(A_i)^{-1}=h(A_i)$ 对所有的 $1\leq i\leq m$ 都成立.

注: 请用两种方法进行证明上述问题.

[问题2017S04] 设 $A=(a_{ij})$ 为 $n$ 阶复矩阵, 证明: 存在正数 $\delta$, 使得对任意的 $s\in(0,\delta)$, 下列矩阵均可对角化: $$A(s)=\begin{pmatrix} a_{11}+s & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\  a_{21} & a_{22}+s^2 & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}+s^n \end{pmatrix}.$$

注: 本题由楼红卫教授给出, 曾作为15级高代II思考题第5题.

[问题2017S05] 设 $A$ 为 $n$ 阶方阵, 证明: 若下列条件之一成立, 则矩阵方程 $AX+XA=X$ 只有零解:

(1) $A$ 为幂零阵, 即存在正整数 $m$, 使得 $A^m=0$;  (2) $A$ 的所有元素都为 $1$;  (3) $A$ 的特征值全为偶数; (4) $A$ 的所有特征值实部的绝对值都小于 $\dfrac{1}{2}$.

[问题2017S06] 证明: 实对称阵有完全的特征向量系, 从而可对角化.

注: 本题不能用第九章内积空间的理论进行证明.

[问题2017S07] 设 $A,B,AB$ 都是 $n$ 阶实对称阵, 证明: 若 $s$ 是 $AB$ 的一个特征值, 则存在 $A$ 的特征值 $\lambda_0$ 和 $B$ 的特征值 $\mu_0$, 使得 $s=\lambda_0\mu_0$.

[问题2017S08] 设 $n$ 阶实方阵 $A=\begin{pmatrix} a_1 & 1 & & & & \\ 1 & a_2 & 1 & & & \\ & 1 & a_3 & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \\  & & & 1 & a_{n-1} & 1 \\ & & & & 1 & a_n \end{pmatrix}$,

(i) 求证: $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值;

(ii) 试求实线性空间 $C(A)=\{B\in M_n(\mathbb{R})\mid AB=BA\}$ 的维数.

[问题2017S09] 设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换, $f(\lambda),m(\lambda)$ 分别是 $\varphi$ 的特征多项式和极小多项式. 以下各小问的假设是独立的.

(i) 设 $f(\lambda)=m(\lambda)=(\lambda-\lambda_0)^n$, 试求 $V$ 的所有 $\varphi-$不变子空间.

(ii) 设 $f(\lambda)=f_1(\lambda)f_2(\lambda)\cdots f_k(\lambda)$, 其中 $f_i(\lambda)$ 是 $\mathbb{K}$ 上两两互素的多项式. 设 $V_i=\mathrm{Ker\,}f_i(\varphi)$, 则 $V=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_k$. 任取 $V$ 的 $\varphi-$不变子空间 $U$, 证明: $U=U_1\oplus U_2\oplus\cdots\oplus U_k$, 其中 $U_i$ 是 $V_i$ 的 $\varphi-$不变子空间.

(iii) 设 $f(\lambda)=m(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{r_1}(\lambda-\lambda_2)^{r_2}\cdots(\lambda-\lambda_k)^{r_k}$, 其中 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k$ 是 $\mathbb{K}$ 中互异的 $k$ 个数, $r_i\geq 1\,(1\leq i\leq k)$, 试求 $V$ 的所有 $\varphi-$不变子空间.

(iv) 设存在 $V$ 的一组基 $\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}$, 使得 $\varphi$ 在这组基下的表示阵为 $\begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix}$, 其中 $A=F(g(\lambda))$, $B=F(h(\lambda))$ 是对应于 $\mathbb{K}$ 上两个首一不可约多项式 $g(\lambda),h(\lambda)$ 的 Frobenius 块 (也就是友阵的转置), $C$ 是左下角那个元素为 $1$, 其余元素为 $0$ 的矩阵. 试求 $V$ 的所有 $\varphi-$不变子空间.

(v) 设 $f(\lambda)=m(\lambda)=P_1(\lambda)^{r_1}P_2(\lambda)^{r_2}\cdots P_k(\lambda)^{r_k}$, 其中 $P_1(\lambda),P_2(\lambda),\cdots,P_k(\lambda)$ 是 $\mathbb{K}$ 上互异的首一不可约多项式, $r_i\geq 1\,(1\leq i\leq k)$, 试求 $V$ 的所有 $\varphi-$不变子空间.

[问题2017S10] 设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换, 证明: $\varphi$ 的极小多项式在 $\mathbb{K}$ 上无重因式的充要条件是对 $V$ 的任一 $\varphi-$不变子空间 $U$, 均存在 $\varphi-$不变子空间 $W$, 使得 $V=U\oplus W$.

注: 本题是教材复习题七的第 24 题或白皮书的例 7.15 从复数域 $\mathbb{C}$ 到一般数域 $\mathbb{K}$ 上的推广.

[问题2017S11] 设 $f(z)$ 是收敛半径为 $+\infty$ 的复幂级数, $A\in M_n(\mathbb{C})$, $g(\lambda)=\det(f(\lambda)I_n-f(A))$, 证明: $g(A)=0$.

[问题2017S12] 设 $A$ 为 $n$ 阶正定实对称阵, $B$ 为 $n$ 阶实方阵, 使得 $\begin{pmatrix} A & B' \\ B & A^{-1} \end{pmatrix}$ 为半正定阵, 证明: $B$ 的特征值都落在复平面上的单位圆内 (包含边界).

[问题2017S13] 设 $A,B$ 均为 $n$ 阶半正定实对称阵, 满足 $\mathrm{tr}(AB)=0$, 求证: $AB=0$.

注  本题是白皮书第 459 页的例 9.57, 请不要用实对称阵的正交相似标准型理论 (第九章内积空间的内容) 进行证明, 而直接利用半正定阵的基本性质 (第八章二次型的内容) 进行证明.

[问题2017S14] 设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是 $n$ 个互异的正实数, 试用两种方法证明: $n$ 阶实对称阵 $A=(a_{ij})$ 是正定阵, 其中 $a_{ij}=\dfrac{1}{a_i+a_j}$.

[问题2017S15] 设 $A$ 为 $n$ 阶正定实对称阵, $x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)'$, $f(x)=x'Ax$ 为对应的实二次型. 设去掉 $A$ 的 第 $i$ 行和第 $i$ 列后的主子阵为 $A_i$, 证明: $f(x)$ 在 $x_i=1$ 的条件下的最小值为 $\dfrac{|A|}{|A_i|}$, $1\leq i\leq n$.

[问题2017S16] 设 $A$ 为 $n$ 阶实对称阵, 证明: $A$ 为正定阵 (半正定阵) 的充要条件是 $$c_r=\sum_{1\leq i_1<i_2<\cdots<i_r\leq n}A\begin{pmatrix}i_1\,\,i_2\,\,\cdots\,\,i_r \\i_1\,\,i_2\,\,\cdots\,\,i_r \end{pmatrix}>0\,\,(\geq 0),\,\,\,\,r=1,2,\cdots,n.$$

[问题2017S17] 设 $A$ 为 $n$ 阶正定实对称阵, $\alpha,\beta$ 是 $n$ 维实列向量, 证明: $(\alpha'\beta)^2\leq(\alpha'A\alpha)(\beta'A^{-1}\beta)$, 等号成立当且仅当 $A\alpha$ 与 $\beta$ 成比例.

注  白皮书的例 9.51 是加法版本, 本题是乘法版本.

[问题2017S18] 设 $A$ 为 $n$ 阶复矩阵, $\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n$ 是 $-\dfrac{\mathrm{i}}{2}(A-\overline{A}')$ 的全体特征值, 证明: 对 $A$ 的任一特征值 $\lambda$, 有 $\lambda_1\leq\mathrm{Im\,}\lambda\leq\lambda_n$.

注  白皮书的例 9.48 是实部版本, 本题是虚部版本.