loj #2143. 「SHOI2017」组合数问题

#2143. 「SHOI2017」组合数问题

 

题目描述

组合数 Cnm\mathrm{C}_n^mC​n​m​​ 表示的是从 nnn 个互不相同的物品中选出 mmm 个物品的方案数。举个例子， 从 (1,2,3)(1, 2, 3)(1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有 (1,2)(1, 2)(1,2)，(1,3)(1, 3)(1,3)，(2,3)(2, 3)(2,3) 这三种选择方法。根据组合数的定义，我们可以给出计算组合数 Cnm\mathrm{C}_n^mC​n​m​​ 的一般公式：

Cmn=n!m! (n−m)!

其中 n!=1×2×⋯×nn! = 1 \times 2 \times \cdots \times nn!=1×2×⋯×n。（特别地，当 n=0n = 0n=0 时，n!=1n! = 1n!=1；当 m>nm > nm>n 时，Cnm=0\mathrm{C}_n^m = 0C​n​m​​=0。）

小葱在 NOIP 的时候学习了 Cij\mathrm{C}_i^jC​i​j​​ 和 kkk 的倍数关系，现在他想更进一步，研究更多关于组合数的性质。小葱发现，Cij\mathrm{C}_i^jC​i​j​​ 是否是 kkk 的倍数，取决于 Cjimodk 是否等于 000，这个神奇的性质引发了小葱对 mod\mathrm{mod}mod 运算（取余数运算）的兴趣。现在小葱选择了是四个整数 n,p,k,rn, p, k, rn,p,k,r，他希望知道

(∞∑i=0Cik+rnk)modp,

即

(Crnk+Ck+rnk+C2k+rnk+⋯+C(n−1)k+rnk+Cnk+rnk+⋯)modp

的值。

输入格式

第一行有四个整数 n,p,k,rn, p, k, rn,p,k,r，所有整数含义见问题描述。

输出格式

一行一个整数代表答案。

样例

样例输入 1

2 10007 2 0

样例输出 1

8

样例解释 1

C40+C42+C44+⋯=1+6+1=8\mathrm{C}_4^0 + \mathrm{C}_4^2 + \mathrm{C}_4^4 + \cdots = 1 + 6 + 1 = 8C​4​0​​+C​4​2​​+C​4​4​​+⋯=1+6+1=8。

样例输入 2

20 10007 20 0

样例输出 2

176

数据范围与提示

对于 30%30\%30% 的测试点，1≤n,k≤301 \leq n, k \leq 301≤n,k≤30，ppp 是质数；
对于另外 5%5\%5% 的测试点，p=2p = 2p=2；
对于另外 5%5\%5% 的测试点，k=1k = 1k=1；
对于另外 10%10\%10% 的测试点，k=2k = 2k=2；
对于另外 15%15\%15% 的测试点，1≤n≤103,1≤k≤501 \leq n \leq 10^3, 1 \leq k \leq 501≤n≤10​3​​,1≤k≤50，ppp 是质数；
对于另外 15%15\%15% 的测试点，1≤n×k≤1061 \leq n \times k \leq 10^61≤n×k≤10​6​​，ppp 是质数；
对于另外 10%10\%10% 的测试点，1≤n≤109,1≤k≤501 \leq n \leq 10^9, 1 \leq k \leq 501≤n≤10​9​​,1≤k≤50，ppp 是质数；
对于 100%100\%100% 的测试点，1≤n≤109,0≤r<k≤50,2≤p≤230−11 \leq n \leq 10^9, 0 \leq r < k \leq 50, 2 \leq p \leq 2^{30} - 11≤n≤10​9​​,0≤r<k≤50,2≤p≤2​30​​−1。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int f[][],n,p,k,r;
int main(){
    scanf("%d%d%d%d",&n,&p,&k,&r);
    f[][]=;
    for(int i=;i<=n*k;i++)
        for(int j=;j<k;j++){
            if(j!=)f[i][j]=(f[i-][j]+f[i-][j-])%p;
            else f[i][j]=(f[i-][j]+f[i-][j+k-])%p;
        }
    printf("%d",f[n*k][r]);
}

60分 暴力

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int P,K,R;
long long N;
struct matrix{
    int n,m,a[][];
    matrix(){memset(a,,sizeof(a));}
    matrix operator * (const matrix &c)const{
        matrix res;res.n=n;res.m=c.m;
        for(int i=;i<n;i++)
            for(int j=;j<c.m;j++)
                for(int k=;k<m;k++)
                    res.a[i][j]=(res.a[i][j]+1LL*a[i][k]*c.a[k][j]%P)%P;
        return res;
    }
}a,b;
void Pow(matrix x,long long y){
    while(y){
        if(y&)
            a=a*x;
        x=x*x;
        y>>=;
    }
}
int main(){
    cin>>N;
    scanf("%d%d%d",&P,&K,&R);
    N=1LL*N*K;
    a.n=;a.m=K;a.a[][]=;
    b.n=b.m=K;
    for(int i=;i<K;i++)b.a[i][i]++,b.a[i][(i+)%K]++;
    Pow(b,N);
    printf("%d",a.a[][R]);
    return ;
}

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