loj #2143. 「SHOI2017」组合数问题
#2143. 「SHOI2017」组合数问题
题目描述
组合数 Cnm\mathrm{C}_n^mCnm 表示的是从 nnn 个互不相同的物品中选出 mmm 个物品的方案数。举个例子, 从 (1,2,3)(1, 2, 3)(1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有 (1,2)(1, 2)(1,2),(1,3)(1, 3)(1,3),(2,3)(2, 3)(2,3) 这三种选择方法。根据组合数的定义,我们可以给出计算组合数 Cnm\mathrm{C}_n^mCnm 的一般公式:
Cmn=n!m! (n−m)!
其中 n!=1×2×⋯×nn! = 1 \times 2 \times \cdots \times nn!=1×2×⋯×n。(特别地,当 n=0n = 0n=0 时,n!=1n! = 1n!=1;当 m>nm > nm>n 时,Cnm=0\mathrm{C}_n^m = 0Cnm=0。)
小葱在 NOIP 的时候学习了 Cij\mathrm{C}_i^jCij 和 kkk 的倍数关系,现在他想更进一步,研究更多关于组合数的性质。小葱发现,Cij\mathrm{C}_i^jCij 是否是 kkk 的倍数,取决于 Cjimodk 是否等于 000,这个神奇的性质引发了小葱对 mod\mathrm{mod}mod 运算(取余数运算)的兴趣。现在小葱选择了是四个整数 n,p,k,rn, p, k, rn,p,k,r,他希望知道
(∞∑i=0Cik+rnk)modp,
即
(Crnk+Ck+rnk+C2k+rnk+⋯+C(n−1)k+rnk+Cnk+rnk+⋯)modp
的值。
输入格式
第一行有四个整数 n,p,k,rn, p, k, rn,p,k,r,所有整数含义见问题描述。
输出格式
一行一个整数代表答案。
样例
样例输入 1
2 10007 2 0
样例输出 1
8
样例解释 1
C40+C42+C44+⋯=1+6+1=8\mathrm{C}_4^0 + \mathrm{C}_4^2 + \mathrm{C}_4^4 + \cdots = 1 + 6 + 1 = 8C40+C42+C44+⋯=1+6+1=8。
样例输入 2
20 10007 20 0
样例输出 2
176
数据范围与提示
对于 30%30\%30% 的测试点,1≤n,k≤301 \leq n, k \leq 301≤n,k≤30,ppp 是质数;
对于另外 5%5\%5% 的测试点,p=2p = 2p=2;
对于另外 5%5\%5% 的测试点,k=1k = 1k=1;
对于另外 10%10\%10% 的测试点,k=2k = 2k=2;
对于另外 15%15\%15% 的测试点,1≤n≤103,1≤k≤501 \leq n \leq 10^3, 1 \leq k \leq 501≤n≤103,1≤k≤50,ppp 是质数;
对于另外 15%15\%15% 的测试点,1≤n×k≤1061 \leq n \times k \leq 10^61≤n×k≤106,ppp 是质数;
对于另外 10%10\%10% 的测试点,1≤n≤109,1≤k≤501 \leq n \leq 10^9, 1 \leq k \leq 501≤n≤109,1≤k≤50,ppp 是质数;
对于 100%100\%100% 的测试点,1≤n≤109,0≤r<k≤50,2≤p≤230−11 \leq n \leq 10^9, 0 \leq r < k \leq 50, 2 \leq p \leq 2^{30} - 11≤n≤109,0≤r<k≤50,2≤p≤230−1。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int f[][],n,p,k,r;
int main(){
scanf("%d%d%d%d",&n,&p,&k,&r);
f[][]=;
for(int i=;i<=n*k;i++)
for(int j=;j<k;j++){
if(j!=)f[i][j]=(f[i-][j]+f[i-][j-])%p;
else f[i][j]=(f[i-][j]+f[i-][j+k-])%p;
}
printf("%d",f[n*k][r]);
}
60分 暴力
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int P,K,R;
long long N;
struct matrix{
int n,m,a[][];
matrix(){memset(a,,sizeof(a));}
matrix operator * (const matrix &c)const{
matrix res;res.n=n;res.m=c.m;
for(int i=;i<n;i++)
for(int j=;j<c.m;j++)
for(int k=;k<m;k++)
res.a[i][j]=(res.a[i][j]+1LL*a[i][k]*c.a[k][j]%P)%P;
return res;
}
}a,b;
void Pow(matrix x,long long y){
while(y){
if(y&)
a=a*x;
x=x*x;
y>>=;
}
}
int main(){
cin>>N;
scanf("%d%d%d",&P,&K,&R);
N=1LL*N*K;
a.n=;a.m=K;a.a[][]=;
b.n=b.m=K;
for(int i=;i<K;i++)b.a[i][i]++,b.a[i][(i+)%K]++;
Pow(b,N);
printf("%d",a.a[][R]);
return ;
}
100分 矩阵快速幂优化dp
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