BZOJ.2668.[CQOI2012]交换棋子(费用流zkw)

题目链接

首先黑白棋子的交换等价于黑棋子在白格子图上移动，都到达指定位置。

在这假设我们知道这题用网络流做。

那么黑棋到指定位置就是一条路径，考虑怎么用流模拟出这条路径。

我们发现除了路径的起点和终点的格子消耗次数为1，路径上其它点的格子交换次数为\(2\)。

可以想到把每个点拆成\(in\)和\(out\)，但这样无法体现出，作为起点/终点与路径中其它点的次数消耗差别。

于是拆成三个点，\(in,x,out\)，\(x\)代表原点，设点\(x\)流量为\(lim\)，\(in,out\)平分流量，边容量为\(\frac{lim}{2}\)。

直接\(\frac{lim}{2}\)对么？注意每个点只会作为起点或终点一次。若\(x\)最初白最后黑，那么会作为终点一次而不作为起点，则连边\((in\rightarrow x,\frac{lim+1}{2}),(x\rightarrow out,\frac{lim}{2})\)；若是黑到白，出会比入多一次；若该点不需要变则流量都是\(\frac{lim}{2}\)。

花费就在\(in\rightarrow x\)与\(x\rightarrow out\)上设\(1\)就行了。

对于起始图中的黑点\(i\)，连边\((S\rightarrow x(i),1)\)；对于最终图中的黑点\(i\)，连边\((x(i)\rightarrow T,1)\)。

对于相邻点\(i,j\)，连边\((out(i),in(j),INF)\)。

（\((u\rightarrow v,w)\)表示\(u\rightarrow v\)的单向边，容量为\(w\)）

为什么要拆三个点呢，因为对于可能是起点或终点的点我们无法区分初始流量。

但是如果它是起点或终点，则一定要作为起点或终点走一次，把流量给它就是了；否则是不会有\(1\)的流量的。

如果该点是起点或终点，则\(in\rightarrow out\)流量为\(\frac{lim+1}{2}\)，否则流量为\(\frac{lim}{2}\)。这样就可以只拆两个点了。

源点汇点都与in连就行。

这个相邻怎么这么奇怪?只给一个水的不行的样例??

拆成三个点：

//1368kb	24ms
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
const int N=1305,M=N*24,INF=0x3f3f3f3f;

int n,m,S,T,id[25][25][3],Enum,H[N],cur[N],nxt[M],to[M],cap[M],cost[M],dis[N],Cost;
bool vis[N];
std::queue<int> q;
char st[25][25],ed[25][25];

inline int read()
{
	int now=0;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
	return now;
}
#define AE(u,v,w,c) to[++Enum]=v,nxt[Enum]=H[u],H[u]=Enum,cap[Enum]=w,cost[Enum]=c,to[++Enum]=u,nxt[Enum]=H[v],H[v]=Enum,cap[Enum]=0,cost[Enum]=-c
bool SPFA()
{
	memset(vis,0,sizeof vis);
	memset(dis,0x3f,sizeof dis);
	dis[S]=0, q.push(S);
	while(!q.empty())
	{
		int x=q.front();
		q.pop(), vis[x]=0;
		for(int v,i=H[x]; i; i=nxt[i])
			if(cap[i] && dis[v=to[i]]>dis[x]+cost[i])
				dis[v]=dis[x]+cost[i], !vis[v]&&(q.push(v),vis[v]=1);
	}
	return dis[T]<INF;
}
int DFS(int x,int f)
{
	if(x==T) return f;
	vis[x]=1;
	for(int &i=cur[x],v,tmp; i; i=nxt[i])
		if(cap[i] && !vis[v=to[i]] && dis[v]==dis[x]+cost[i])
			if(tmp=DFS(v,std::min(cap[i],f)))
				return cap[i]-=tmp,cap[i^1]+=tmp,Cost+=tmp*cost[i],tmp;
	return 0;
}
int MCMF()
{
	int res=0;
	while(SPFA())
	{
		for(int i=S; i<=T; ++i) cur[i]=H[i];
		while(int tmp=DFS(S,INF)) res+=tmp;
	}
	return res;
}

int main()
{
	n=read(),m=read(),Enum=1,S=0,T=n*m*3+1;
	for(int i=1; i<=n; ++i) scanf("%s",st[i]+1);
	for(int i=1; i<=n; ++i) scanf("%s",ed[i]+1);
	int tot=0;
	for(int i=1; i<=n; ++i)
		for(int j=1; j<=m; ++j)
			id[i][j][0]=++tot,id[i][j][1]=++tot,id[i][j][2]=++tot;
	int tot1=0, tot2=0;
	for(int i=1; i<=n; ++i)//0:x 1:in 2:out
	{
		char c=gc();
		for(; !isdigit(c); c=gc());
		for(int j=1; j<=m; ++j, c=gc())
		{
			const char s=st[i][j],t=ed[i][j];
			const int x=id[i][j][0],in=id[i][j][1],out=id[i][j][2],lim=c-'0';
			if(s=='1') AE(S,x,1,0), ++tot1;
			if(t=='1') AE(x,T,1,0), ++tot2;
			if(s=='1'&&t=='0') AE(in,x,lim>>1,1), AE(x,out,lim+1>>1,1);
			else if(s=='0'&&t=='1') AE(in,x,lim+1>>1,1), AE(x,out,lim>>1,1);
			else AE(in,x,lim>>1,1), AE(x,out,lim>>1,1);
			if(i<n) AE(out,id[i+1][j][1],INF,0), AE(id[i+1][j][2],in,INF,0);//同色的当然也可以连边(想啥呢→_→)
			if(i<n&&j<m) AE(out,id[i+1][j+1][1],INF,0), AE(id[i+1][j+1][2],in,INF,0);
			if(i<n&&j>1) AE(out,id[i+1][j-1][1],INF,0), AE(id[i+1][j-1][2],in,INF,0);
			if(j<m) AE(out,id[i][j+1][1],INF,0), AE(id[i][j+1][2],in,INF,0);
		}
	}
	printf("%d\n",(tot1==tot2&&MCMF()==tot1)?Cost>>1:-1);

	return 0;
}

拆成两个点：

//1148kb	16ms
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
const int N=805,M=N*22,INF=0x3f3f3f3f;

int n,m,S,T,id[25][25][2],Enum,H[N],cur[N],nxt[M],to[M],cap[M],cost[M],dis[N],Cost;
bool vis[N];
std::queue<int> q;
char st[25][25],ed[25][25];

inline int read()
{
	int now=0;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
	return now;
}
#define AE(u,v,w,c) to[++Enum]=v,nxt[Enum]=H[u],H[u]=Enum,cap[Enum]=w,cost[Enum]=c,to[++Enum]=u,nxt[Enum]=H[v],H[v]=Enum,cap[Enum]=0,cost[Enum]=-c
bool SPFA()
{
	memset(vis,0,sizeof vis);
	memset(dis,0x3f,sizeof dis);
	dis[S]=0, q.push(S);
	while(!q.empty())
	{
		int x=q.front();
		q.pop(), vis[x]=0;
		for(int v,i=H[x]; i; i=nxt[i])
			if(cap[i] && dis[v=to[i]]>dis[x]+cost[i])
				dis[v]=dis[x]+cost[i], !vis[v]&&(q.push(v),vis[v]=1);
	}
	return dis[T]<INF;
}
int DFS(int x,int f)
{
	if(x==T) return f;
	vis[x]=1;
	for(int &i=cur[x],v,tmp; i; i=nxt[i])
		if(cap[i] && !vis[v=to[i]] && dis[v]==dis[x]+cost[i])
			if(tmp=DFS(v,std::min(cap[i],f)))
				return cap[i]-=tmp,cap[i^1]+=tmp,Cost+=tmp*cost[i],tmp;
	return 0;
}
int MCMF()
{
	int res=0;
	while(SPFA())
	{
		for(int i=S; i<=T; ++i) cur[i]=H[i];
		while(int tmp=DFS(S,INF)) res+=tmp;
	}
	return res;
}

int main()
{
	n=read(),m=read(),Enum=1,S=0,T=n*m*2+1;
	for(int i=1; i<=n; ++i) scanf("%s",st[i]+1);
	for(int i=1; i<=n; ++i) scanf("%s",ed[i]+1);
	int tot=0;
	for(int i=1; i<=n; ++i)
		for(int j=1; j<=m; ++j)
			id[i][j][0]=++tot,id[i][j][1]=++tot;
	int tot1=0, tot2=0;
	for(int i=1; i<=n; ++i)
	{
		char c=gc();
		for(; !isdigit(c); c=gc());
		for(int j=1; j<=m; ++j, c=gc())
		{
			const char s=st[i][j],t=ed[i][j];
			const int in=id[i][j][0],out=id[i][j][1],lim=c-'0';
			if(s=='1') AE(S,in,1,0), ++tot1;
			if(t=='1') AE(in,T,1,0), ++tot2;
			if(s!=t) AE(in,out,lim+1>>1,1);
			else AE(in,out,lim>>1,1);
			if(i<n) AE(out,id[i+1][j][0],INF,0), AE(id[i+1][j][1],in,INF,0);//同色的当然也可以连边(想啥呢→_→)
			if(i<n&&j<m) AE(out,id[i+1][j+1][0],INF,0), AE(id[i+1][j+1][1],in,INF,0);
			if(i<n&&j>1) AE(out,id[i+1][j-1][0],INF,0), AE(id[i+1][j-1][1],in,INF,0);
			if(j<m) AE(out,id[i][j+1][0],INF,0), AE(id[i][j+1][1],in,INF,0);
		}
	}
	printf("%d\n",(tot1==tot2&&MCMF()==tot1)?(Cost):-1);

	return 0;
}