格点多边形面积公式(Pick定理)的一个形象解释（转）

Pick定理：如果一个简单多边形(以下称为“多边形”)的每个顶点都是直角坐标平面上的格点，则称该多边形为格点多边形．若一个面积为S的格点多边形，其边界上有a个格点，内部有b个格点，则S＝a/2＋b－1．

强迫孩子们接受无法说出道理的东西，很容易打击孩子们的求知欲望和学习兴趣．我经过反复琢磨，找到一个非常浅显的办法，既能够形象的解释Pick定理的道理，又能让看清Pick定理的本质．整个解释只需用到一个很浅显的预备知识：“多边形外角和等于一个周角”．

以下图的格点多边形ABCDE为例，其边界上有a个格点，内部有b个格点．

设想在平面的每个格点放一个铁饼，满足：

(1)每个铁饼都一样大的圆（或者说是圆柱），圆心是格点；

(2)每个铁饼都恰好重1克；

(3)每个铁饼的半径都做得尽量小——不仅铁饼之间互相不重叠，而且还使得多边形ABCDE内部的每个格点上所放的铁饼，都完全落在该多边形的内部；多边形ABCDE外部的每个格点上所放的铁饼，都完全落在该多边形的外部．

首先，考虑多边形ABCDE的边界以内的铁的总重．

这可以分如下两类进行计算： 第一类：其内部格点上放的铁饼．此类总重显然是b克．第二类：其边界格点上放的铁饼落在边界以内的铁．假设每个边界格点上放的铁饼，恰有一半落在边界以内，则总重为a/2克．但显然在每个顶点处放的铁饼，落在边界以内的铁实际不足一半，比一半还少该顶点的一个外角内所含的铁，所有这种外角内所含的铁恰好拼成一块完整的铁饼（因为多边形外角和等于一个周角）．所以后一类铁的总重是a/2－1克．

因而，多边形ABCDE的边界以内的铁的总重是a/2＋b－1克．

接下来，设想将平面上所有铁饼全部熔化，打造成一张厚薄均匀的铁板盖在整个平面上．这可以看作是：将每个单位正方形的四个顶点处的每个90°的扇形铁饼，熔化在这个正方形内部，故熔化后每个单位正方形内的铁都是1克．进而，平面上任意图形，其面积是多少，其内部就含多少克铁．

因而，熔化并重新打造后，多边形ABCDE的边界以内的铁的总重是S克．

最后，注意到这个熔化并重新打造的过程，可以看成是：每个格点处的铁饼中的铁，按(以该格点为中心)放射状的方式重新适当改动位置而已．这样的改动，不会使格点多边形ABCDE外面的铁跑到多边形内部，也不会使内部的铁跑到外部．

即熔化并重新打造的前后，多边形ABCDE的边界以内的铁的总重是不变的，所以S＝a/2＋b－1．

参考：http://blog.sina.com.cn/s/blog_a1c409e30101efme.html