【codeforces 24D】损坏的机器人

题目大意：有一只坏了的机器人站在一个n∗m的网格里，初始位置在(x,y)。现在每个单位时间内它会随机选左右下三个方向走，如果它随机的方向会走出网格就不会往这个方向走。当然这个机器人也可能原地停留一个单位时间。求机器人走到第n行的期望时间。

只能说这题出得太吼辣~

我们用f[i][j]表示从(i,j)这个点走到第n行所需要的期望时间。那么我们显然得到：

f[i][1]=(f[i][1]+f[i][2]+f[i+1][1])/3+1;

f[i][j]=(f[i][j-1]+f[i][j]+f[i][j+1]+f[i+1][j])/4+1; j∈[2,m-1]

f[i][m]=(f[i][m]+f[i][m-1]+f[i+1][m])/3+1;

如果对上述的方程进行simple的高斯消元，很明显是不行的.....

但还是要消一遍先~，得到:

f[i][1]=(3+f[i][2]+f[i+1][1])/2;

f[i][j]=(4+f[i][j+1]+f[i][j-1]+f[i+1][j])/3;

f[i][m]=(3+f[i][m-1]+f[i+1][m])/2;

不妨设f[i+1]是已知的，那么，我们对该式子做一些细微调整。

以f[i][1]举例 f[i][1] = (3+f[i][2]+f[i+1][1])/2 = (3+f[i+1][1])/3+1/2f[i][2]。

我们设(3+f[i+1][1])/3为A，1/2为B。

则f[i][2]= (4+f[i][3]+f[i][1]+f[i+1][j])/3 = (4+f[i][3]+A+B*f[i][2]+f[i+1][2])/3

化简后得到 f[i][2]=(4+f[i][3]+A+f[i+1][2])/(3-B)。

与化简f[1]的方式相同，将f[i][2]化为A+Bf[i+3]，不难得到F[i][2]=(4+A+f[i+1][2])/(3-B) + 1/(3-B)*f[i][3]，即A’=（4+A+C）/(3-B)，B'=1/(3-B)。 f[i][3...m-1]的推法与f[i][2]相同。（C为f[i+1][2])

下面考虑f[i][m]，在此之前，我们已经求得f[i][m-1]=A+B*f[i][m]。 通过前面的推论我们得知：f[i][m]=(3+f[i][m-1]+f[i+1][m])/2，代入后得到f[i][m]=(3+A+B*f[i][m]+f[i+1][m])/2。

化简后得到f[i][m]=(3+A+f[i+1][m])/(2-B)。f[i][m]的准确值终于被求出来了.....，由于先前的f[i][j]均推出了f[i][j]=A+B*f[i][j+1]，所以该行的所有f值将全部求出。

这一过程重复n-x+1次即可。时间复杂度为O((n-x+1)*m)。

本题有个小坑：当m=1时，上文描述的转移无效，此情况下转移为f[i][1]=f[i+1][1]+2。（我就是忘记加这个特判所以没有1A）

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #define M 1010
 using namespace std;
 double f[M][M]={},a[M]={},b[M]={};

 int main(){
     int n,m,x,y; scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&x,&y);
     n=n-x+; if(m==) f[][y]=(n-)*;
     else
     for(int i=n-;i;i--){
         memset(a,,sizeof(a)); memset(b,,sizeof(b));
         a[]=(+f[i+][])/.; b[]=./.;
         for(int j=;j<m;j++){
             double c=f[i+][j];
             a[j]=(.+a[j-]+c)/(-b[j-]);
             b[j]=./(-b[j-]);
         }
         f[i][m]=(.+a[m-]+f[i+][m])/(.-b[m-]);
         for(int j=m-;j;j--){
             f[i][j]=a[j]+b[j]*f[i][j+];
         }
     }
     printf("%.10lf\n",f[][y]);
 }