SAR成像(一)：线性调频信号(LFM)和脉冲压缩

文章仅为个人理解，如有不妥之处欢迎指正。

1、脉冲压缩目的和意义
在雷达系统中，距离分辨率是很重要的一项性能指标，它决定了雷达能分辨两个单元之间的最小距离，更通俗的，即雷达分辨相离较近物体的能力。而决定雷达分辨率的是发射信号带宽，所以我们想要提高距离分辨率，就需要发射更窄的脉冲信号，但是，窄脉冲就意味着发射信号能量小，导致探测距离短，所以，对于一般的脉冲信号（脉宽、时宽乘积约为1），比如矩形脉冲信号，带宽和时宽不能同时增大，因此距离分辨率和探测距离是一对矛盾。
脉冲压缩技术就能比较好的解决上述两个参量之间的矛盾，用宽脉冲发射信号，保证足够的探测距离，在接收端用相应的匹配滤波器，通过脉冲压缩技术得到窄脉冲，以此来提高距离分辨率。

2、线性调频信号
大时宽的宽频信号有很多形式，在雷达系统中最常用的是线性调频（Linear Frequency Modulation）脉冲信号。LFM脉冲信号的载频在脉冲宽度范围内线性变化，因此也有更宽的带宽。
LFM信号的复数表达式为：

s

(

t

)

=

r

e

c

t

(

t

τ

)

e

j

2

π

(

f

0

+

K

t

2

/

2

)

s(t)=rect(\frac{t}{\tau})e^{j2\pi(f_{0}+Kt^{2}/2)}

s(t)=rect(τt​)ej2π(f0​+Kt2/2)
其中，

f

0

f_{0}

f0​为初始载频，

τ

\tau

τ为脉冲宽度，

K

K

K为发射线性调频信号的调频斜率，且

r

e

c

t

(

t

τ

)

=

{

1

,

∣

t

∣

≤

τ

/

2

0

,

∣

t

∣

≥

τ

/

2

rect(\frac{t}{\tau})=\begin{cases} 1, \text{ $|t|\leq \tau/2$} \\ 0, \text{ $|t|\geq\tau/2$} \end{cases}

rect(τt​)={1, ∣t∣≤τ/20, ∣t∣≥τ/2​

K

=

B

/

τ

K=B/\tau

K=B/τ

B

B

B为信号带宽。
信号的瞬时频率

f

(

t

)

f(t)

f(t)为：

f

(

t

)

=

1

2

π

d

d

t

[

2

π

(

f

0

t

+

K

t

2

/

2

)

]

=

f

0

+

K

t

f(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{d}{dt}[2\pi(f_{0}t+Kt^2/2)]=f_{0}+Kt

f(t)=2π1​dtd​[2π(f0​t+Kt2/2)]=f0​+Kt
当

B

B

B=20MHz，

τ

\tau

τ=10

μ

s

\mu s

μs时，线性调频信号波形和频谱如下图所示：

还有一点不得不强调，LFM脉冲信号的带宽和时宽都是可以自己选择的，不像矩形脉冲信号那样带宽和时宽相互制约。

3、脉冲压缩
脉冲压缩的理论基础是匹配滤波。对雷达接收的回波信号进行脉冲压缩后有两个好处：增加信噪比；压缩信号宽度。
匹配滤波是一种最优滤波器，只要我们给予输入的是某一确知信号，并加上白噪声，那么就能让输出的信噪比达到最大。
将回波信号记为

f

(

t

)

f(t)

f(t)，设滤波器的传输函数为

H

(

w

)

H(w)

H(w)，则为了满足最大输出信噪比，

H

(

w

)

H(w)

H(w)的表达式为：

H

(

w

)

=

K

F

∗

e

−

j

w

t

0

H(w)=KF^*e^{-jwt_{0}}

H(w)=KF∗e−jwt0​
上式中，

F

∗

F^*

F∗为

f

(

t

)

f(t)

f(t)傅里叶变换的共轭；

t

0

t_0

t0​是物理器件的时间延时；

K

K

K为增益常数。
从时域角度看，匹配滤波器也可以用冲激函数

h

(

t

)

h(t)

h(t)来表示，则上式描述的滤波器冲击响应为：

h

(

t

)

=

K

f

∗

(

t

0

−

t

)

h(t)=Kf^*(t_0-t)

h(t)=Kf∗(t0​−t)
脉冲压缩要在雷达后端接收机由数字信号处理器件完成，而在这个过程中，由于器件速度的限制，脉冲压缩的过程通常需要在零中频进行，此时，线性调频信号的表达式变为：

s

(

t

)

=

r

e

c

t

(

t

τ

)

e

j

π

K

t

2

s(t)=rect(\frac{t}{\tau})e^{j\pi Kt^{2}}

s(t)=rect(τt​)ejπKt2少了初始频率

f

0

f_0

f0​，从

h

(

t

)

h(t)

h(t)的表达式可以看出，如果不考虑器件延时

t

0

t_0

t0​和增益常数

K

K

K，匹配滤波器的冲击响应是滤波器输入信号

f

(

t

)

f(t)

f(t)的共轭倒置，即：

h

(

t

)

=

f

∗

(

−

t

)

=

r

e

c

t

(

t

τ

)

e

−

j

π

K

t

2

h(t)=f^*(-t)=rect(\frac{t}{\tau})e^{-j\pi Kt^{2}}

h(t)=f∗(−t)=rect(τt​)e−jπKt2滤波器输出可以由

f

(

t

)

、

h

(

t

)

f(t)、h(t)

f(t)、h(t)卷积得到，也可以由他们的傅里叶变换乘积再经过傅里叶反变换得到。在实际应用中，通过卷积直接做脉冲压缩的运算量很大。，更多是从频域角度来实现匹配滤波。

4、仿真

参数名称	参数值
带宽（B）	20MHz
脉冲宽度（tao）	10e-6s
脉冲重复间隔 （T）	1e-4s
采样频率（fs）	20MHz
目标1距离（R1）	5000m
目标2距离（R2）	8000m
目标3距离（R3）	8300m
目标4距离（R4）	9500m

得到回波如下图：

对回波进行脉冲压缩后的波形如下图：

可以看到，由于目标2、目标3和目标3相距较近，他们的回波信号由接收机接收后会混在一起，难以分辨，但是经过脉冲压缩后，可以很容易的分辨出来。

附上仿真程序：

clear;clc;close all

T   =  1e-4;       %最大探测距离 c*T/2=15000m
tao =  10e-6;
B   =  20e6;
fs  =  2*B;
c   =  3e8;  %光速
K   =  B/tao; 

R   =  [5000 8000 9300 8500];
rcs =  [0.2 0.5 0.3 0.35];
delay = 2*R./c;

t=-tao/2:1/fs:tao/2-1/fs;
x_linear=exp(1j*pi*(K.*(t.^2)));  %发射信号
figure
subplot(211);plot(t,real(x_linear));title('时域波形')
X=fftshift(fft(x_linear));
f=linspace(0,fs,length(t))-fs/2;
subplot(212);plot(f,abs(X));title('频域')

tt = 0:1/fs:T-1/fs;
echo = zeros(1,length(tt));
for i = 1:length(R)
    % 回波信号
    echo = echo + randn(1,length(tt))*0.2 + ...
           rcs(i)*rectpuls(tt-delay(i)-tao/2,tao).*exp(1j*pi*K*(tt-delay(i)-tao/2).^2);
end

figure;
plot(tt,real(echo));xlabel('time');title('回波')
h=exp(1j*pi*(K.*(t.^2)));  %匹配滤波器冲击响应
output=ifft(conj(fft(h,length(echo))).*fft(echo,length(echo)));  %h和echo做fft的长度要一样
figure;
subplot(211);plot(0:1/fs:T-1/fs,abs(output));title('脉冲压缩输出波形');xlabel('time');
subplot(212);plot((0:1/fs:T-1/fs)*c/2,db(abs(output)/max(abs(output))),'r');
title('脉压结果分贝图');ylabel('dB');xlabel('m');

相关内容：
SAR成像(零)：【总结】SAR成像原理和仿真实现
SAR成像(一)：线性调频信号(LFM)和脉冲压缩
SAR成像(二)：高方位向分辨率原理
SAR成像(三)：快时间与慢时间
SAR成像(四)：多普勒频移的计算
SAR成像(五)：回波模型
SAR成像(六)：距离徙动矫正
SAR成像(七)：RD成像算法

参考：

[1]陈小利. 合成孔径雷达成像研究[D].南京大学,2015.
[2]https://blog.csdn.net/weixin_45858061/article/details/102986993