【DP】【CF31E】 TV Game

传送门

Description

给你一个长度为\(2n\)的数字，每次可以从左侧选一个数字，加入连接到一个数字\(A\)或另一个数字\(B\)后面。\(A,B\)初始为\(0\)。\(A\)与\(B\)必须恰好被连接\(n\)次。最大化\(A,B\)的和，输出方案

Input

第一行是\(n\)，第二行是长度为\(2n\)的数字

Output

从左到右输出该数字第几位被如何处理。连接到\(A\)输出\(H\)，连接到\(B\)输出\(M\)。

Hint

\(1~\leq~n~\leq~18\)

Solution

看起来像是个DP啊……

考虑如果正向DP的话，每次选择一个数，数字和增加多少依赖于之前那个数字选了多少。这显然是有后效性的，难以处理。

考虑反过来DP。

这样每次选一个数只依赖于之前选了多少位，可以直接设到状态里面。于是可以设\(f_{i,j}\)为\(A\)选了\(i\)位，\(B\)选了\(j\)位的数字和，转移显然。

Code

#include<cstdio>
#define rg register
#define ci const int
#define cl const long long

typedef long long int ll;

template <typename T>
inline void qr(T &x) {
	rg char ch=getchar(),lst=' ';
	while((ch > '9') || (ch < '0')) lst=ch,ch=getchar();
	while((ch >= '0') && (ch <= '9')) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	if(lst == '-') x=-x;
}

namespace IO {
	char buf[120];
}

template <typename T>
inline void qw(T x,const char aft,const bool pt) {
	if(x < 0) {x=-x,putchar('-');}
	rg int top=0;
	do {IO::buf[++top]=x%10+'0';} while(x/=10);
	while(top) putchar(IO::buf[top--]);
	if(pt) putchar(aft);
}

template <typename T>
inline T mmax(const T a,const T b) {return a > b ? a : b;}
template <typename T>
inline T mmin(const T a,const T b) {return a < b ? a : b;}
template <typename T>
inline T mabs(const T a) {return a < 0 ? -a : a;}

template <typename T>
inline void mswap(T &_a,T &_b) {
	T _temp=_a;_a=_b;_b=_temp;
}

const int maxn = 40;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n,dn;
int MU[maxn];
ll frog[maxn][maxn],ten[maxn]={1};
char s[maxn];
bool pre[maxn][maxn];

void dfs(ci,ci);

int main() {
	qr(n);
	scanf("%s",s+1);
	dn=n<<1;
	for(rg int i=dn;i;--i) MU[dn-i+1]=s[i]-'0';
	for(rg int i=1;i<n;++i) ten[i]=ten[i-1]*10ll;
	for(rg int i=0;i<maxn;++i) for(rg int j=0;j<maxn;++j) frog[i][j]=-INF;
	frog[0][0]=0;
	for(rg int i=0;i<=n;++i) {
		for(rg int j=0;j<=n;++j) {
			int len=i+j;
			if(i) frog[i][j]=frog[i-1][j]+MU[len]*ten[i-1];
			if(j) {
				if(frog[i][j] < frog[i][j-1]+MU[len]*ten[j-1]) {
					frog[i][j]=frog[i][j-1]+MU[len]*ten[j-1];pre[i][j]=true;
				}
			}
		}
	}
	dfs(n,n);
	putchar('\n');
	return 0;
}

void dfs(ci x,ci y) {
	if((!x) && (!y)) return;
	if(pre[x][y]) {putchar('H');dfs(x,y-1);}
	else {putchar('M');dfs(x-1,y);}
}

Summary

在序列上的线性DP，当正向难以转移时，可以考虑反向DP。